談到 20 世紀數學的發展，甚至是 21 世紀數學的發展，其實都離不開希爾伯特 23 問的影響，希爾伯特 23 問可以說是指引 20 世紀數學發展的最高綱領，那麼希爾伯特 23 問究竟說的是什麼呢？今天就讓我們來了解一下。
如果說談到對 20 世紀數學影響最大的一位數學家，那麼希爾伯特就是離不開的一位，他之是以對數學界影響深遠，不僅僅是因為他的數學成就，還在于他是哥廷根數學學派的領袖，他上司的哥廷根學派締造了 20 世紀前三十年的數學輝煌，是無數數學學者心中的搖籃，它的餘威至今仍攪動着整個數學界。希爾伯特由此也被譽為數學界的“無冕之王”。
簡單來說，希爾伯特就是當時數學界的武林盟主，培養了一大批武林高手，整個武林人才濟濟。
希爾伯特出生在前蘇聯加裡甯格勒附近的韋勞，從小他就對數學展現了濃厚的興趣，他甚至不顧父親的反對，進入哥尼斯堡大學攻讀數學，在這裡結識了他一生的摯友闵可夫斯基 ，人生當中最難得的就是可以遇見一位與你志同道合、和你一起奮力前行的朋友，闵可夫斯基也是數學天才，他是愛因斯坦的老師，闵可夫斯基時空為廣義相對論的建立提供了架構。
希爾伯特和闵可夫斯基經常一起散步，探讨數學問題，兩位數學天才的交流碰撞出激烈的火花，希爾伯特幾乎所有重要的成果都會提前給闵可夫斯基先審校一遍，兩個人的友誼好到，闵可夫斯基看到數學大會上沒有希爾伯特的演講，失望到都不想去參加大會。
在闵可夫斯基去世前幾天，希爾伯特還和闵可夫斯基說，下一次他會給出華林定理的證明，希望闵可夫斯基可以參加，闵可夫斯基去世的時候還在記挂着沒有聽到希爾伯特關于華林定理的證明，并且在去世之前還想再見希爾伯特一面。
希爾伯特取得的這一系列數學成就都離不開和闵可夫斯基之間的熱烈交流而碰撞出來的花火，希爾伯特一生研究的數學課題非常之多，包括不變量理論、代數數域理論、幾何基礎、積分方程、一般數學基礎，其間穿插的研究課題有：狄利克雷原理和變分法、華林問題、特征值問題、“希爾伯特空間”等。
說到希爾伯特空間還有一個趣事，以希爾伯特命名的數學名詞多如牛毛，有些連希爾伯特本人都不知道。有一次，希爾伯特問系裡的同僚“請問什麼叫做希爾伯特空間？”（希爾伯特空間是希爾伯特對于歐幾裡得空間的一個推廣，但是名字不是他取得，數學家一般對于一些問題的研究，名字都是後來的人幫他們取得，像希爾伯特空間就是馮·諾伊曼在其1929年出版的關于無界厄米算子的著作中，最早使用了“希爾伯特空間”這個名詞。）
正是因為希爾伯特在數學上極具天賦，哥廷根學派的領袖克萊因對希爾伯特非常贊賞，認為哥廷根數學學派正需要像希爾伯特這樣的人作為接班人。不得不說，克萊因看人的眼光是真準，挖人的本領一流，希爾伯特、闵可夫斯基這些都是他挖來哥廷根的，克萊因為後來希爾伯特帶領哥廷根學派走向輝煌奠定了基礎。
希爾伯特在上司哥廷根數學學派上，憑借着自己無與倫比的魅力吸引着世界各地的年輕人像朝聖般地奔向哥廷根，光他指導的博士就有七八十人。大批青年學者湧向哥廷根，不僅從德國、歐洲，而且來自亞洲，特别是美國。據統計，1862—1934年間獲外國學位的美國數學家114人，其中34人是在哥廷根獲博士學位的，那個時候很多有影響的論文都是用德語寫的。廷根學派成為了世界數學家的搖籃和聖地，是國際數學中心。
當時全世界學數學的學生中，最響亮的口号就是“打起你的背包，到哥廷根去”。
那個時候的數學界富有盛名的數學家近一半都是出自哥廷根數學學派，哥闵可夫斯基為狹義相對論提供了數學架構——闵可夫斯基四維幾何；外爾最早提出規範場理論，并為廣義相對論提供理論依據；馮·諾依曼對剛剛降生的量子力學提供了嚴格的數學基礎，發展了泛函分析；“現代數學之母”諾特以一般理想論奠定了抽象代數的基礎，并在此基礎上刺激了代數拓撲學的發展；柯朗是應用數學大家，他在偏微分方程求解方面的工作為空氣動力學等一系列實際課題掃清了道路。
這個時候的哥廷根群星璀璨，熠熠生輝，大家都自由徜徉在數學的殿堂之中，任憑思想的火花碰撞。
哥廷根學派，左三希爾伯特，其他你都認識嗎
希爾伯特除了為數學界培養了大批的人才，1900 年，這是19世紀的結束也是一個新的世紀的到來，而此時恰逢第二屆國際數學家大會召開，當時希爾伯特已經是哥廷根學派的領袖，自然是大會主旨演講的首選。
希爾伯特一開始在思考是否應該為純數學辯護，純數學也叫基礎數學，是一門專門研究數學本身，不以實際應用為目的的學問，研究從客觀世界中抽象出來的數學規律的内在聯系，也可以說是研究數學本身的規律。
不過後來希爾伯特改變了想法，他認為是時候在總結 19 世紀以來數學的發展的基礎上，讨論一下 20 世紀數學發展的新方向，提出一些數學家應集中力量加以解決的重要問題。希爾伯特的想法得到了闵可夫斯基的熱情烈支援，認為最有吸引力的題材，莫過于展望數學的未來，是以希爾伯特便選擇了。
是以，希爾伯特從 1900 年 1 月開始，到 7 月份，整整花了 6 個月的時間準備講演稿，然後又和闵可夫斯基以及著名數學家赫威茨花了 1 個月的時間修改。
1900 年 8 月，在巴黎國際數學家代表大會上，希爾伯特發表了題為《數學問題》的著名講演，希爾伯特在這份講演裡以其遠見卓識闡述了數學發展的特點，分析了數學内部及外部因素對數學進步的作用，強調了重大數學問題乃是數學前進的指路明燈，是會下金蛋的鵝，可以源源不斷産生新的問題新的方法新的理念。他堅信數學不會因正在盛行的專門化趨勢而被分割成不聯系的孤立分支，數學作為一個整體的生命力正在于其各個部分間聯系。
他還根據19世紀數學研究的成果與發展趨勢而提出了23個問題，這23個問題統稱希爾伯特問題。希爾伯特問題可以說成為了20世紀數學發展的一盞明燈，為數學的未來探索指引了一條方向。
這23個問題如下圖所示，分屬四大塊:
第1到第6問題是數學基礎問題;第7到第12問題是數論問題，第13到第1 8問題屬于代數和幾何問題;第1 9到第2 3問題屬于數學分析。從順序上講，顯然希爾伯特把自己的重點放在數學基礎上，他自己的工作也正為締造數學大廈牢固的基礎而努力。從1 9世紀末希爾伯特已緻力把數學建立在少數公理的基礎上。他還是集合論最早的少數支援者之一一，把數學建立在集合論基礎上成為他的夢想。這可以解釋他為什麼把集合論頭号問題 連續統假設列為自己的第1問題。
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可以說希爾伯特問題涉及到了數學大部分重要的領域，這需要作者擁有豐富廣闊的數學學識才能夠夠做到，可以說很少有數學家能夠把問題看得如此全面透徹深邃，裡面大家非常熟悉的，應該就是素數分布問題，尤其對黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素數問題。
素數是一個很古老的研究領域。希爾伯特在大會上提到黎曼猜想、哥德巴赫猜想以及孿生素數問題。黎曼猜想至今未解決。哥德巴赫猜想和孿生素數問題目前也未最終解決，而這些問題的解決對于素數研究具有重大的意義。
其中，哥德巴赫猜想的最佳結果屬于中國數學家陳景潤（1+2），而華人數學家張益唐在2013年在孿生素數猜想領域做出了突破性的貢獻。
希爾伯特在講演中提出了他所認為的完美的數學問題的準則：問題既能被簡明清楚的表達出來，然而問題的解決又是如此的困難以至于必須要有全新的思想方法才能夠實作。
為了說明他的觀點，希爾伯特舉了兩個最典型的例子：第一個是費馬大定理，即代數方程 x^n+y^n=z^n 在n大于2時是沒有非零整數解的；第二個就是N體問題的特例———“三體問題”。 值得一提的是，盡管這兩個問題在當時還沒有被解決，希爾伯特并沒有把他們列進他的問題清單。
懷爾斯和費馬大定理
因為希爾伯特本人在數學界的巨大影響，希爾伯特 23 問立馬成為無數數學界想要解決的目标，直至今日，希爾伯特問題依然是成為許多數學家力圖攻克的難關，對現代數學的研究和發展産生了深刻的影響，并起了積極的推動作用。可以說希爾伯特通過他自己的工作和提出的問題，把20世紀數學帶上一條健康發展的道路。
希爾伯特的２３個問題更是一個繼往開來的文獻，說它繼往，是它總結了１９世紀幾乎所有未解決的重要問題；說它開來，是這些問題的确推動了２０世紀數學的進步。是以各數學大國，美國、俄羅斯、日本以及法國、德國和英國的數學家或組織起來或單獨研究希爾伯特問題的曆史和現狀，并進一步提出新的問題，我們國家數學界在希爾伯特 23 問上也發揮了不少的貢獻。
如今希爾伯特問題中有些現已得到圓滿解決，有些至今仍未得到解決。他在講演中所闡發的相信每個數學問題都可以得到解決的信念，對數學工作者是一種巨大的鼓舞，也激勵着數學家們前赴後繼去探索數學未知的領域，去探尋數學未來的前沿。
大數學家外爾曾形象地評價希爾伯特和他的23問為:“希爾伯特就像穿雜色衣服的風笛手，甜蜜的笛聲誘惑了衆多的老鼠，跟着他一起跳進了數學的深淵。”