望月新一（圖檔來源：京都大學）
2012年的一天，日本數學家望月新一（Shinichi Mochizuki）将4篇論文挂到了他的網站上。這些論文的總篇幅超過了600頁，望月新一在論文中宣稱，他解決了ABC猜想——當今數學界最大的難題之一。然而，論文公開後，在很長一段時間内，能讀懂這篇論文的數學家寥寥無幾。望月新一的證明，也成了數學界的一樁懸案。
同年4月3日，望月新一關于ABC猜想的證明發表在《數了解析研究所公刊》（PRIMS），——正如期刊名字所揭示的那樣，這個學術期刊的主辦機關正是望月新一任職的京都大學，而該期刊的主編，正是望月新一本人。
盡管争議依舊，但論文被接收就意味着，這個漫長（時間和篇幅雙重意義上）的ABC猜想證明，終于進入了一個全新的階段。接下來，望月新一的證明将接受更多同行的評判。
2017年，《用數學的語言看宇宙：望月新一的IUT理論》的作者、望月新一的深交摯友、日本數學家加藤文元的一場演講引發了熱議，也帶來了這本書的出版。
這本書雖然是解讀望月新一“跨視宇Teichmüller理論（IUT理論）”的通俗讀本，但閱讀難度不高，通過展現望月新一的數學研究曆程，主要傳遞的還是數學家在做什麼？數學家是如何思考的？數學的底層邏輯與深度思考方法等問題。适合衆多對數學感興趣，以及希望學習數學思維的人。
撰文 | 達維德·卡斯泰爾韋基（Davide Castelvecchi）編譯 | 吳非來源 | 環球科學
30多年的猜想
望月新一試圖解決的ABC猜想，是一個有着超過30年曆史的數論難題。這個猜想揭示了整數加法與乘法之間的深刻聯系。每個正整數都能唯一地表達為質數的乘積。現在，a、b、c是3個正整數，其中a + b = c。如果a和b能分解為許多小的質數，那麼c就隻能分解為寥寥可數的幾個大質數。
這個想法首先是由法國數學家約瑟夫·厄斯特勒（Joseph Oesterlé）在1985年的一次演講中提出的。厄斯特勒當時隻是随口一提，但在場的瑞士數學家戴維·馬瑟（David Masser）意識到，這個猜想可能非常重要，于是開始宣傳它的一種推廣形式。是以，ABC猜想也被稱作厄斯特勒-馬瑟猜想。
數年後，哈佛大學的數學家諾姆·埃爾奇斯（Noam Elkies）意識到，如果ABC猜想是正确的，它将會對整數方程研究領域産生深遠的影響——對ABC猜想的證明會一下子解決一長串著名的未解丢番圖方程。
如何了解ABC猜想的重要性呢？我們先來看此前丢番圖方程研究史上最重要的突破。美國數學家路易·莫德爾（Louis Mordell）曾在1922年提出了一個猜想，認為絕大部分丢番圖方程要麼沒有解，要麼隻有有限個解；而莫德爾的猜想在1983年被德國數學家格爾德·法爾廷斯（Gerd Faltings）證明，他三年後是以獲得菲爾茲獎。而如果ABC猜想是正确的，你知道的就不僅僅是方程有多少個解，還能把它們全部列出來。
如果得到證明，這将會成為本世紀内最驚人的數學成就之一，也會在整數方程的研究中掀起一場徹底的變革。基于ABC猜想，還可能出現一種用于證明費馬大定理的全新方法。
苦戰十年
望月新一于1969年出生在東京，他在幼年時就被家人帶到美國。年僅16歲時，天賦異禀的望月新一就成為了普林斯頓大學數學系的大學生。很快，他就直接進入了博士階段的學習，而他的導師正是證明了莫德爾猜想的法爾廷斯。
1994年，在普林斯頓大學取得博士學位的望月新一回到日本，任職于數了解析研究所。此後幾年，他的一系列工作取得了國際聲譽。但到了21世紀初，望月新一卻将自己“封閉”在研究所内，不再參加國際會議，甚至很少離開京都。然而望月新一确實與其他數論學家保持着聯系，他們知道望月新一的最終目标就是ABC猜想。他幾乎沒有競争者：絕大部分數學家明确避開了這個問題，認為它過于棘手。
2012年8月30日，望月新一在網上公開了自己的證明。不過，他沒有選擇預印本網站，而是将論文悄悄地發在了數學科學研究所的網站上。這4篇論文不僅篇幅驚人，内容也令其他數學家頭疼不已——其中一些數學概念是他完全不熟悉的。望月新一在描述一些全新理論時，會使用令人震驚的、幾乎是以救世主自居的語言，他甚至将他創造的這個領域稱為“宇宙際幾何”。
美國威斯康星大學麥迪遜分校的數論學家喬丹·埃倫伯格（Jordan Ellenberg）這樣評價望月新一的論文：“就像是在讀來自未來或外太空的論文。”他的導師法爾廷斯也表示：“我嘗試讀了一部分，然後在某個階段，我放棄了。我不明白他在幹什麼”，并且批評他“沒有将想法更加清晰地表達出來”。
首先宣稱看懂這些證明性的，是英國諾丁漢大學的伊萬·費先科（Ivan Fesenko）。費先科仔細研究了望月新一的工作，并在2014年拜訪望月新一聲稱，他已經驗證了證明的正确性。統括宇宙際幾何的主題，如費先科所述，就是我們必須以另一個角度看待整數——将加法放在一旁，将乘法看成某種可以延伸變化的結構。标準的乘法将會成為一類結構中的特殊情況，就像圓是橢圓的特殊情況。但對于絕大多數數學家來說，這些論文依舊是“天書”，望月新一的猜想一度陷入了僵局。
缺陷無法修複？
2017年12月，日本《朝日新聞》報道稱，望月新一的論文已經被雜志正式接收，當時就有消息稱接收這些論文的正是望月新一擔當主編的PRIMS，不過PRIMS的編輯在當時對這一傳言予以否認。
幾個月後，望月新一的處境更加不妙。兩位德高望重的數學家——2018年菲爾茨獎得主，波昂大學的彼得·朔爾策（Peter Scholze）和歌德大學的雅各布·施蒂克斯（Jacob Stix）反駁了望月新一的證明，并指出其中一個具體的關鍵段落存在“無法修補的嚴重缺陷”。作為數論領域的權威，朔爾策在接受采訪時表示：“我認為ABC猜想依然是開放的，任何人都有機會證明這個猜想。”
2020年4月3日，望月新一在數了解析研究所的兩位同僚召開新聞釋出會宣布，望月新一關于ABC猜想的證明終于被學術期刊接收、即将正式發表，而接收這些論文的期刊正是PRIMS。
不過，論文被接收的消息，似乎也沒有讓更多數學家轉移到望月新一的陣營。“我可以肯定地說，在2018年之後，學界的态度沒有太大的變化，”加州大學聖疊戈分校的數學家基蘭·凱德拉亞（Kiran Kedlaya）說。他曾花了數年時間，試圖證明ABC猜想。
需要指出的是，數學家在自己擔任編輯的學術期刊上發表論文，其實并不罕見。東京大學科維理實體和數學研究所的數學家中島啟（Hiraku Nakajima）說，隻要作者回避同行評議流程，“這種情況沒有違背任何規則，也很常見。”
在數學界，論文被接收通常并不是同行評議的終點，隻有在同行達成共識後，結論才能稱得上真正成立。而這個過程，可能需要花費數年時間。
對于望月新一的工作來說，“結果不會是要麼完全正确，要麼毫無可取之處。”埃倫貝格說。即使ABC猜想的證明沒有實作，他的方法與觀念仍能夠緩慢滲透到整個數學界，研究者可能會發現它們在别的方面有用。“基于我對望月新一的了解，我的确認為這些檔案中極有可能包含着有趣或者重要的數學。”埃倫貝格說。
但事情也有向另一個方向發展的風險，埃倫貝格補充道：“我想，如果我們将它忘記，那可就太糟糕了。”
參考連結：
https://www.scientificamerican.com/article/mathematical-proof-that-rocked-number-theory-will-be-published/
《給宇宙帶來革命的數學證明？》（《環球科學》2015年12期）
《用數學的語言看宇宙：望月新一的IUT理論》作者：[日]加藤文元出版社：人民郵電出版社出版時間：2024-02本書是解讀望月新一“跨視宇Teichmüller理論（IUT理論）”的通俗讀本。作者将望月的論文及構想，轉化為一般讀者也能讀懂的語言，創作了這本“IUT理論”的解讀手冊。書中側重解讀“IUT理論”的思考脈絡及其對現代數學體系的重大意義，同時也展示了數學家的思考方法，是一本兼具前沿數學理論知識與經典數學思維方法的科普佳作。本書适合作為數學研究人員、數學愛好者了解“IUT理論”的入門讀本，也适合作為學生了解數學思考方法的參考讀物。