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在拓撲學領域中出現了一個令人振奮的突破：一群數學家證僞了“望遠鏡猜想”。這一猜想由道格拉斯·拉維尼爾在1984年提出，因作為他一系列猜想中最後被解決的一個而聞名。
這一研究團隊在劍橋艾薩克·牛頓數學科學研究所（INI）組織的“同倫理論全景”會議上宣布了他們的研究成果，托默·施蘭克（Tomer Schlank）、傑裡米·哈恩（Jeremy Hahn）、羅伯特·伯克倫德（Robert Burklund）和伊山·利維（Ishan Levy）共同完成了這一結果的證明。我們邀請到了托默·施蘭克和傑裡米·哈恩，用盡可能最簡單的語言來介紹他們的工作。以下是他們告訴我們的内容。
什麼是拓撲學？
對于幾何形狀，拓撲學采取的态度和我們在日常生活中一樣寬松。當我們說高爾夫球是球形的時候，我們并不關心它上面有許多小凹點，嚴格來說，這就意味着它并不是一個完美的球面。同樣，盡管橘子和蘋果明顯凹凸不平，我們也會認為它們是圓的。
拓撲學展現出了這種對于變形的容忍度。如果兩個形狀能夠通過擠壓或者拉伸（而非切割或粘合）互相轉換，那麼它們在拓撲學上就會被認為是相同的。從這個意義上講，高爾夫球、橘子、蘋果和漏氣的足球都是一樣的。類似地，甜甜圈在拓撲學上與咖啡杯相同（如下面的gif動圖所示）。不過，甜甜圈和球面并不相同，因為将球面變成甜甜圈的唯一方法隻能是在球面上切出一個洞，再把邊緣粘合起來。
甜甜圈（嚴格來說是圓環面）和球面的差別在于，圓環面有一個洞，而球面沒有。事實上，洞在拓撲學中是極其重要的。數學家已經證明了許多自然而然地出現在我們腦海中的表面結構在拓撲學上都等價于球面（即沒有任何洞）、圓環面（有一個洞），又或者是具有兩個、三個洞等的圓環面。在拓撲學中，我們使用洞的數量定義表面。
走一條環路
現在也許你會問“什麼是洞？”在看到一個圓環面時，我們很清楚它确實有一個洞。但一旦你試圖将“有洞”的屬性用語言描述出來時，事情就會變得有些棘手。
這時，我們可以利用圓圈來幫忙。你在拓撲球上可能畫出的任何圓圈都能夠收縮成一個點。而對于拓撲圓環面，或者其他有洞的表面，情況會有些出入：如果圓圈繞着洞旋轉，你可以盡情地推動或者挪動它，但是隻要你不把表面粘合在一起，它永遠也不會收縮成一個點。
如果你的拓撲球是一顆高爾夫球，或者你的拓撲圓環面是一個彎曲的甜甜圈，那麼受凹陷和凸起影響，你不可能在任何一個面上畫出一個完美的圓。但我們不必擔心這一點，我們追求的是一般性的圓，也就是閉合的環路。
我們同樣不用區分那些不進行切割，而通過比如在表面上滑動、拉伸或是擠壓的方式就可以互相轉換的環路。這些環路可以被認為是等價的，我們可以将在曲面上繪制的環路的集合劃分為等價類。如果兩條環路可以在不進行切割的情況下互相轉換，它們便屬于同一個類，在上面的圖檔中，顔色相同的環路屬于同一個等價類。
以上所有這些都可以在數學上精确地表述出來：表面上的環路的等價類被稱為同倫類，所有這些等價類的集合被稱為表面的同倫群。同倫群的确切構成提供了關于表面的洞的資訊，是以能夠告訴我們很多關于表面本身的資訊（是的，它構成了數學上的一個群）。
二維孔洞
一旦你認識到孔洞對于描述表面的重要性，以及環路對于描述孔洞的重要性，你可能會問自己如何才能繼續進行下去。
到目前為止，我們已經考慮了能夠繪制在表面上的環路，換句話說，也就是能夠在表面上連續地映射一個圓的所有可能方式。“映射”圓僅僅意味着将圓上的每一個點配置設定給表面上的一個點，而“連續”意味着在得到的環路中沒有間隙。
圓是球面的一維類比。如果我們再提高一個次元，還會有什麼方式可以将球連續映射到我們的表面呢？如果表面本身就是一個拓撲球，比如說一個漏氣的足球，那麼很容易就能想象出實作這一映射的方法。你可以将球面變形，直到它具有和足球完全相同的形狀，然後再将變形之後的球面上的每一個點配置設定給足球上對應的點。
你也可以很容易地将球面映射到包含有拓撲球的形狀上，如下圖所示。
不過，你會發現不能将球面映射到拓撲圓環面，孔洞再一次變成了難題。
在前兩個例子中，一旦球面被映射到一個表面上，就不再可能在表面本身不形變的情況下将球面縮小到一個點。這是因為它包圍了你所認為的二維孔洞，也就是你想要映射到的拓撲球的内部。
“球面沒有任何一維孔洞，因為每當你畫一條環路的時候，你都可以将它縮小，”托默·施蘭克說。“但球面确實有一個二維孔洞，因為你可以映射另一個球面到它上面，使它不能被縮小。這雖然不直覺，但不難證明：圓環面不存在二維孔洞。”
這些想法可以用數學語言精确地表達出來。與我們之前看到的關于環路的情況類似，你最終可以得到一個曲面的同倫群，它可以告訴你二維孔洞的存在。一般來說，這一同倫群由将球面連續映射到其他表面的所有方法生成，可以用于判斷被映射的表面能否收縮到一點。
高維孔洞和形狀
現在，我們知道，圓是一維的客體，而球面是一個平面，即二維的。盡管我們不能直覺地看到高維表面，數學家們卻有定義它們的方法。是以你可以像處理圓或者普通的球面那樣去處理它們。
類似地，現在你可以定義将高維球面映射到給定形狀的同倫群。這些同倫群将會為你提供形狀中那些你所認為的高維孔洞的資訊。
“有些事情令人驚訝，并且在定義同倫群時也沒有被預想到，那就是你可以在低維球面中得到高維孔洞，”施蘭克解釋道。“比如說，你可以寫下一種從三維球面到二維球面的連續映射，并且不能收縮成一個點。”這意味着這種二維球面具有一個三維孔洞。盡管它超出了我們能夠想象到的範圍，但是下面的圖像描繪了這種映射。你不需要去了解它——我們把它放在這裡，隻是想說數學家們确實對于他們所讨論的内容有着清晰的概念。
現在，我們可以考慮二維球面是否具有四維、五維、六維等更高次元的孔洞。更一般地，在給定球面的次元n後，可以考慮是否存在具有更高次元m的孔洞。對應的同倫群用進行表示。下标m是要尋找的孔洞的維數，而上标n是洞所在的表面的次元。
“了解‘由球面之間的映射産生的同倫群是什麼’這一一般性的問題，仍然是同倫理論領域中的關鍵課題，”施蘭克說。換句話說，數學家們希望能夠進一步了解周遊m和n所有組合方式的同倫群。
事實證明，這在目前是一個不可能實作的任務，但好在數學的本質可以為我們提供有效的簡化。數學家漢斯·弗賴登塔爾（Hans Freudenthal）在1937年證明，隻要包含的維數差 (m-n) 相同并且n足夠大，同倫群便都是相同的（嚴格來講它們彼此同構）。這表示存在着在整個分支上都彼此相同的同倫群。例如：
在這裡，維數的差是1。
在這裡，維數的差是2。
在這裡，維數的差是3。
符号代表這些群在本質上是相同的（即彼此同構）。
在這些分支中的同倫群被稱為穩定同倫群。對于每一個整數，都存在着一個穩定同倫群：它包含一個維數之差為1的同倫群，一個維數之差為2的同倫群，以此類推。“是以我們可以先來嘗試一個比較簡單的問題，隻去研究這些穩定同倫群，而非所有的同倫群。”施蘭克說。
戲劇性的失敗
穩定同倫群能夠使問題變得更加容易，但想要了解它并不輕松。道格拉斯·拉維尼爾在1984年提出了望遠鏡猜想。他曾表示，不會指望他的孫輩能夠在有生之年完全了解其中的所有内容。這也是數學家們停止了對于個别穩定同倫群的關注，轉而去嘗試了解它們的整體結構的原因。拉維尼爾将這種行為比作身處一座巨大的宅邸之中。與其調查每一個房間，你更願意去了解建築整體的結構。
數學家漢斯·弗賴登塔爾對同倫理論做出了巨大的貢獻。這幅肖像拍攝于1957年。圖：Hofland, L.H., Het Utrechts Archief，CC BY 4.0。
望遠鏡猜想使得掌握同倫群整體的結構變為可能。但如今，伯克倫德、哈恩、利維和施蘭克證明了這種猜想是錯誤的。這意味着拉維尼爾提供的方法行不通。“我認為公平地說，我們不僅證明了這種方法行不通，更證明了這種方法失敗地非常徹底。這座宅邸比我們預想的要複雜太多。”哈恩說。
希望尚存
但這并不意味着我們回到了起點。我們對于穩定同倫群的了解表明，在它們的集合中存在着某種模式。你可以将這種模式按照類似于光的波長進行分解，每一個獨立的波長都會展現出周期性的現象。“這些周期确實存在，但是遠比望遠鏡猜想所預期的更加複雜，”施蘭克說。“不過，我們證僞望遠鏡猜想的方式帶給了我們一些有益的啟發，”他補充道。“比如說，它為同倫群的大小提供了一個下限。”
伯克倫德、哈恩、利維和施蘭克在牛津會議上宣布了他們的成果，并得到了巨大的贊譽。“這對我們所有人來說都是一個特别的時刻”，哈恩說到。“拉維尼爾在那裡，邁克·霍普金斯也在。他與合作者一起證明了拉維尼爾的絕大多數猜想，除了望遠鏡猜想。會議室裡聚集了與這些猜想有過交集的人們的整個曆史。我們非常感激這次會議，它讓所有這些人都聚集在一起。現在看起來是解釋我們工作的最佳時機。”事實上，這次會議是為了緻敬邁克·霍普金斯。這是一個由艾薩克·牛頓數學科學研究院（INI）舉辦的曆時兩周的活動的一部分。第二部分“同倫：沃土之果”在劍橋的INI舉行。
曆經近40年，在拉維尼爾提出的猜想全部解決之後，同倫理論領域開始邁向新的發展方向，以更好地了解穩定同倫群。INI在這一領域的探索中發揮了自己的作用：近期的會議是2018發起的一項研究計劃的延續。或許在将來，它還會主持重要研究結果的釋出。如果我們仍然在場，我們一定會報道這些資訊。
作者：Marianne Freiberger
翻譯：wnkwef
審校：悅悅
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編輯：利有攸往