在系統控制領域，一緻性算法在多智能體編隊控制研究中引起了廣泛的關注［1 － 2］，湧現了諸如群聚、交會和編隊控制等相關的應用。一緻性算法的主要思想是利用個體智能體之間的通訊資訊對多智能體系統進行控制，進而各個體智能體狀态達到共同值。
本文在僅部分跟随航天器可擷取領航航天器狀态資訊的限制下，針對系統存在未模組化動态以及外部環境幹擾等問題，研究了考慮輸入飽和的多航天器姿軌耦合分布式協同跟蹤控制，使得跟随航天器跟蹤動态的領航航天器。
航天器模型
本文采用 MＲPs 來描述航天器姿态，第 i 個航天器的姿态運動學及動力學方程為
其中 σi = eitan/4 = ［σi1 σi2 σi3］T 表示第 i 個航天器姿态，ωi = ［ωi1 ωi2 ωi3］T 為第 i 個航天器本體坐标系相對于參考坐标系的角速度在本體系中的投影。
Ji 為正定對稱的航天器轉動慣量陣，S(a) 定義為任意 3 × 1 矢量 a 的 3 × 3 斜對稱矩陣，τi = ［τi1 τi2 τi3］T 為作用于第 i 個航天器的控制輸入，τdi =［τdi1 τdi2 τdi3］T 為作用于第 i 個航天器的幹擾，式(1)中
其中
表示向量的 2 － 範數。
将式 (1) 和式 (2) 經過一系列的變換，得到Euler-Lagrange 形式的航天器運動方程
其中
注意到 Mσi (σi) 為對稱正定矩陣。
航天器相對軌道動力學模型
在 LVLH 參考坐标系中，第 i 個航天器與參考點之間的相對運動方程描述為如下 Euler-Lagrange的形式
這裡定義 ρi = ［xi yi zi］T 為第 i 個航天器相對于參考點的位置矢量，Fi = ［fxifyi fzi］T為施加在第 i 個航天器上的控制力。
Fdi = ［fdxi fdyi fdzi］T為作用在第 i 個航天器上的環境幹擾力，mi 為第 i 個航天器的品質，μ，Ｒc 和 θ 分别為地球引力常數，參考點到地心的距離和參考軌道的真近點角。
切比雪夫神經網絡
本文的神經網絡結構采用基于 Chebyshev 多項式的單層 Chebyshev 神經網絡，其函數連接配接網絡由一組正交的 Chebyshev 多項式組成。基于 CNN 的逼近特性，任意連續的非線性函數 fN(X) 都可由CNN 逼近，即
其中 W* 為 CNN 的最優權重矩陣，εf 為 CNN 的逼近誤差。
對于系統(7)，在全局範圍内作如下假設:
假設 1． 各跟随航天器間的通訊拓撲為無向連通的，且領航航天器不能擷取跟蹤航天器的資訊。
假設 2． 領航航天器的位置、速度、姿态以及姿态角速度都是有界的，且其一階和二階導數也是有界的，即 p0，p0，¨p0 是有界的。
考慮輸入飽和的姿軌耦合分布式協同控制律設計
問題的描述
在軌運作的航天器，随着燃料的消耗，其品質和轉動慣量等參數發生變化，即系統的某些參數是無法準确得到的。
在實際的系統中，由于控制系統的執行機構僅能提供有限的驅動能力，系統中總是存在着控制輸入飽和的現象。
飽和特性嚴重影響自适應控制器的性能，是以在設計基于自适應學習的控制器時有必要考慮控制輸入飽和的問題。
本文針對存在各種外界幹擾和不确定性參數的多航天器系統，考慮航天器姿态與軌道動力學之間的控制輸入耦合影響以及執行機構的輸出飽和特性，在僅有部分跟随航天器可擷取領航航天器狀态的情形下研究了多航天器姿軌耦合分布式協同控制。
考慮在編隊隊形中引入領航航天器并将其看作第 i + 1 個航天器，記領航航天器為 0。将跟随航天器之間以及與領航航天器之間的通訊拓撲記為圖 G。在這裡領航航天器不能擷取跟随航天器的狀态資訊，即
是以 a0i = 0。假設僅有部分跟随航天器可擷取領航航天器的狀态。若跟随航天器可擷取領航航天器的資訊，則 ai0 = 1，否則 ai0 ≠ 1。注意到圖G 的 Laplacian 矩陣為
其中 H = L + diag(a10，…，an0) 對稱正定。
姿軌耦合分布式協同控制
本小節中，考慮領航航天器具有時變角速度的情形，對不可擷取領航航天器的部分跟蹤航天器設計 3 個分布式有限時間滑模估計器，分别對領航航天器的位置和姿态，速度和角速度及加速度和角加速度進行估計
其中
為正常數，滿足
存在時間 T，當 t ＞ T 時，
這裡省略對估計器有限時間收斂性的分析。
定義如下輔助變量
當 t ＞ T 時，将輔助變量中的估計值用真實值代替，則式(11)化為
結合式(7)，上式兩邊同乘以 Mi(·)，可得到如下式所示的誤差動力學方程
由于神經網絡良好的函數逼近能力，常被用于補償系統中的不确定模型。本文就利用神經網絡函數對系統(13)中的未知非線性項 fNi 進行補償。
注意到 ¨pri 中包含鄰居跟随航天器的狀态的一階導數，也就是說非線性函數中包含跟随航天器的加速度以及角加速度資訊。
對此非線性函數進行逼近時，需要将此資訊作為神經網絡函數的輸入，然而加速度及角加速度不能夠通過測量得到。雖然通過設計高階滑模觀測器可以估計得到這些資訊，但僅利用部分資訊 pri 作為神經網絡函數的輸入也完全可以逼近非線性函數。
進一步，由于鄰居跟随航天器的相對速度及相對角速度較難以測量，是以應盡量避免神經網絡函數的輸入中包含鄰居航天器的速度及角速度資訊。考慮到各跟随航天器最終要收斂到領航航天器的狀态。
仿真分析
本小節對所提出的考慮控制輸入飽和的分布式姿軌耦合控制律(16) 進行了仿真研究。以六顆航天器的編隊飛行為例。跟随航天器與領航航天器間的通訊拓撲關系如圖 2 所示，其中 0 表示領航航天器，1 ～6 表示跟随航天器，航天器之間的路徑表示它們之間的資訊傳遞關系。
考慮具有時變狀态的領航航天器，對不可獲得領航航天器資訊的跟随航天器設計了分布式滑模估計器(10)來估計得到領航航天器的狀态。各跟随航天器相對于參考軌道的初始位置和速度都為零，姿态初始參數如表 1 所示。控制參數如表 2 所示。仿真結果如圖 3 ～ 圖 7 所示。
圖 3 所示為各跟随航天器的三維軌迹随時間變化曲線，圖中顔色最深的線代表領航航天器的三維曲線。由圖可知各跟随航天器收斂到領航航天器的位置。
圖 4 所示為各跟随航天器所需控制力變化曲線，由仿真曲線可以看出作用在跟随航天器上的控制力具有飽和特性，且能保證對動态領航航天器的跟蹤。
圖 5 所示為各跟随航天器在 LVLH 坐标系中的位置變化曲線，圖 5 中的期望位置箭頭所指的三條線為領航航天器的位置在 LVLH 坐标下的變化曲線。由以上仿真曲線可知，在本文所設計的分布式控制律作用下，跟随航天器實作了對領航航天器位置和速度的跟蹤。
圖 6 所示為各跟随航天器姿态變化曲線。圖 6中的期望位置箭頭所指的三條線代表了領航航天器姿态的變化曲線。同樣，應用本文所設計分布式協同控制律，可保證各跟随航天器跟蹤領航航天器。
圖 7 所示為各跟随航天器跟蹤領航航天器所需的控制力矩變化曲線，由圖 7 可知控制力矩變化規律展現了所設計控制律的飽和特性。
綜上仿真研究，各跟随航天器狀态随時間的變化曲線可知本節所設計的考慮輸入飽和的分布式姿軌耦合協同控制律是可行且有效的。
總結
本文研究了存在控制輸入耦合的多航天器系統的相對軌道與姿态耦合協同控制問題。在僅有部分跟随航天器可獲得領航航天器狀态的限制下，考慮多航天器系統存在未模組化動态及外部環境幹擾的情形，提出了帶有輸入飽和的分布式協同自适應控制律，使得跟随航天器跟蹤動态的領航航天器。
最後以 6 個航天器編隊飛行為例進行了仿真分析，結果表明本文設計的協同控制律是有效可行的。下一步工作是考慮多航天器系統實際編隊飛行中的避碰問題以及資訊丢包問題。
參考文獻
［1］
Ｒen W，Beard Ｒ W，Atkins E M． Information consensus inmultivehicle cooperative control ［J］．IEEE Control SystemsMagazine，2007，27(2): 71 － 82．
［2］Olfati-Saber Ｒ，Fax J A，Murray Ｒ M． Consensusand cooperationin networked multi-agent systems［J］． Proceedings of the IEEE，2007，95(1): 215 － 233．
［3］Wang P K C，Hadaegh F Y，Lau K． Synchronized formationrotation and attitude control of multiple free flying spacecraft［J］．Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1999，22(1): 28－ 35．
［4］Kristiansen Ｒ．Dynamic synchronization of spacecraft［D］．Trondheim: Norwegian University of Science and Technology，2008．
［5］盧偉，耿雲海，陳雪芹，等． 在軌服務航天器對目标的相對位置和姿态耦合控制［J］． 航空學報，2011，32(5): 857 －865． ［Lu Wei，Geng Yun-hai，Chen Xue-qin，et al． Coupledcontrol of relative position and attitude for on-orbit servicingspacecraft with respect to target ［J］．Acta Aeronautica etAstronautica Sinica，2011，32(5): 857 － 865．］
［6］Ahn C，Kim Y． Point targeting of multisatellites via a virtualstructure formation flight scheme［J］．Journal of Guidance，