關于分形

普通幾何學研究的對象，一般都具有整數的維數。比如，零維的點、一維的線、二維的面、三維的立體、乃至四維的時空。最近十幾年的，産生了新興的分形幾何學，空間具有不一定是整數的維，而存在一個分數維數，這是幾何學的新突破，引起了數學家和自然科學者的極大關注。

客觀自然界中許多事物，具有自相似的“層次”結構，在理想情況下，甚至具有無窮層次。适當的放大或縮小幾何尺寸，整個結構并不改變。不少複雜的實體現象，背後就是反映着這類層次結構的分形幾何學。

　客觀事物有它自己的特征長度，要用恰當的尺度去測量。用尺來測量萬裡長城，嫌太短；用尺來測量大腸杆菌，又嫌太長。進而産生了特征長度。還有的事物沒有特征尺度，就必須同時考慮從小到大的許許多多尺度（或者叫标度），這叫做“無标度性”的問題。

　如實體學中的湍流，湍流是自然界中普遍現象，小至靜室中缭繞的輕煙，巨至木星大氣中的渦流，都是十分紊亂的流體運動。流體宏觀運動的能量，經過大、中、小、微等許許多度尺度上的漩渦，最後轉化成分子尺度上的熱運動，同時涉及大量不同尺度上的運動狀态，就要借助“無标度性”解決問題，湍流中高漩渦區域，就需要用分形幾何學。

　在二十世紀七十年代，法國數學家曼德爾勃羅特在他的著作中探讨了英國的海岸線有多長？這個問題這依賴于測量時所使用的尺度。

　如果用公裡作測量機關，從幾米到幾十米的一些曲折會被忽略；改用米來做機關，測得的總長度會增加，但是一些厘米量級以下的就不能反映出來。由于漲潮落潮使海岸線的水陸分界線具有各種層次的不規則性。海岸線在大小兩個方向都有自然的限制，取不列颠島外緣上幾個突出的點，用直線把它們連起來，得到海岸線長度的一種下界。使用比這更長的尺度是沒有意義的。還有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是沒有意義的。在這兩個自然限度之間，存在着可以變化許多個數量級的“無标度”區，長度不是海岸線的定量特征，就要用分維。

　數學家寇赫從一個正方形的“島”出發，始終保持面積不變，把它的“海岸線”變成無限曲線，其長度也不斷增加，并趨向于無窮大。以後可以看到，分維才是“寇赫島”海岸線的确切特征量，即海岸線的分維均介于1到2之間。

　這些自然現象，特别是實體現象和分形有着密切的關系，銀河系中的若斷若續的星體分布，就具有分維的吸引子。多孔媒體中的流體運動和它産生的滲流模型，都是分形的研究對象。這些促使數學家進一步的研究，進而産生了分形幾何學。

　電子計算機圖形顯示協助了人們推開分形幾何的大門。這座具有無窮層次結構的宏偉建築，每一個角落裡都存在無限嵌套的迷宮和回廊，促使數學家和科學家深入研究。

　法國數學家曼德爾勃羅特這位計算機和數學兼通的人物，對分形幾何産生了重大的推動作用。他在1975、1977和1982年先後用法文和英文出版了三本書，特别是《分形——形、機遇和維數》以及《自然界中的分形幾何學》，開創了新的數學分支——分形幾何學。

分形幾何的内容

　分形幾何學的基本思想是：客觀事物具有自相似的層次結構，局部與整體在形态、功能、資訊、時間、空間等方面具有統計意義上的相似性，成為自相似性。例如，一塊磁鐵中的每一部分都像整體一樣具有南北兩極，不斷分割下去，每一部分都具有和整體磁鐵相同的磁場。這種自相似的層次結構，适當的放大或縮小幾何尺寸，整個結構不變。

　維數是幾何對象的一個重要特征量，它是幾何對象中一個點的位置所需的獨立坐标數目。在歐氏空間中，人們習慣把空間看成三維的，平面或球面看成二維，而把直線或曲線看成一維。也可以稍加推廣，認為點是零維的，還可以引入高維空間，對于更抽象或更複雜的對象，隻要每個局部可以和歐氏空間對應，也容易确定維數。但通常人們習慣于整數的維數。

分形理論認為維數也可以是分數，這類維數是實體學家在研究混沌吸引子等理論時需要引入的重要概念。為了定量地描述客觀事物的“非規則”程度，1919年，數學家從測度的角度引入了維數概念，将維數從整數擴大到分數，進而突破了一般拓撲集維數為整數的界限。

　維數和測量有着密切的關系，下面我們舉例說明一下分維的概念。

　當我們畫一根直線，如果我們用 0維的點來量它，其結果為無窮大，因為直線中包含無窮多個點；如果我們用一塊平面來量它，其結果是 0，因為直線中不包含平面。那麼，用怎樣的尺度來量它才會得到有限值哪？看來隻有用與其同維數的小線段來量它才會得到有限值，而這裡直線的維數為 1(大于0、小于2)。

　對于我們上面提到的“寇赫島”曲線，其整體是一條無限長的線折疊而成，顯然，用小直線段量，其結果是無窮大，而用平面量，其結果是 0(此曲線中不包含平面)，那麼隻有找一個與“寇赫島”曲線維數相同的尺子量它才會得到有限值，而這個維數顯然大于 1、小于 2，那麼隻能是小數了，是以存在分維。經過計算“寇赫島”曲線的維數是1.2618……。

分形幾何學的應用

　分形幾何學已在自然界與實體學中得到了應用。如在顯微鏡下觀察落入溶液中的一粒花粉，會看見它不間斷地作無規則運動(布朗運動)，這是花粉在大量液體分子的無規則碰撞(每秒鐘多達十億億次)下表現的平均行為。布朗粒子的軌迹，由各種尺寸的折線連成。隻要有足夠的分辨率，就可以發現原以為是直線段的部分，其實由大量更小尺度的折線連成。這是一種處處連續，但又處處無導數的曲線。這種布朗粒子軌迹的分維是 2，大大高于它的拓撲維數 1。

　在某些電化學反應中，電極附近成績的固态物質，以不規則的樹枝形狀向外增長。受到污染的一些流水中，粘在藻類植物上的顆粒和膠狀物，不斷因新的沉積而生長，成為帶有許多須須毛毛的枝條狀，就可以用分維。

　自然界中更大的尺度上也存在分形對象。一枝粗幹可以分出不規則的枝杈，每個枝杈繼續分為細杈……，至少有十幾次分支的層次，可以用分形幾何學去測量。

　有人研究了某些雲彩邊界的幾何性質，發現存在從 1公裡到1000公裡的無标度區。小于 1公裡的雲朵，更受地形概貌影響，大于1000公裡時，地球曲率開始起作用。大小兩端都受到一定特征尺度的限制，中間有三個數量級的無标度區，這已經足夠了。分形存在于這中間區域。

　近幾年在流體力學不穩定性、光學雙穩定器件、化學震蕩反映等試驗中，都實際測得了混沌吸引子，并從實驗資料中計算出它們的分維。學會從實驗資料測算分維是最近的一大進展。分形幾何學在實體學、生物學上的應用也正在成為有充實内容的研究領域。

分形理論及其發展曆程 

被譽為大自然的幾何學的分形（Fractal）理論，是現代數學的一個新分支，但其本質卻是一種新的世界觀和方法論。它與動力系統的混沌理論交叉結合，相輔相成。它承認世界的局部可能在一定條件下。過程中，在某一方面（形态，結構，資訊，功能，時間，能量等）表現出與整體的相似性，它承認空間維數的變化既可以是離散的也可以是連續的，因而拓展了視野。 

分形幾何的概念是美籍法國數學家曼德爾布羅特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德國數學家維爾斯特拉斯（K.Weierestrass）構造了處處連續但處處不可微的函數，集合論創始人康托（G.Cantor，德國數學家）構造了有許多奇異性質的三分康托集。 

1890年，意大利數學家皮亞諾（G.Peano）構造了填充空間的曲線。 

1904年，瑞典數學家科赫（H.von Koch）設計出類似雪花和島嶼邊緣的一類曲線。 

1915年，波蘭數學家謝爾賓斯基（W.Sierpinski）設計了象地毯和海綿一樣的幾何圖形。這些都是為解決分析與拓樸學中的問題而提出的反例，但它們正是分形幾何思想的源泉。 

1910年，德國數學家豪斯道夫（F.Hausdorff）開始了奇異集合性質與量的研究，提出分數維概念。 

1928年布利幹（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度應用于非整數維，由此能将螺線作很好的分類。 

1932年龐特裡亞金（L.S.Pontryagin）等引入盒維數。 

1934年，貝塞考維奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫測度的性質和奇異集的分數維，他在豪斯道夫測度及其幾何的研究領域中作出了主要貢獻，進而産生了豪斯道夫-貝塞考維奇維數概念。以後，這一領域的研究工作沒有引起更多人的注意，先驅們的工作隻是作為分析與拓撲學教科書中的反例而流傳開來。

1960年，曼德爾布羅特在研究棉價變化的長期性态時，發現了價格在大小尺度間的對稱性。同年在研究信号的傳輸誤差時，發現誤差傳輸與無誤差傳輸在時間上按康托集排列。在對尼羅河水位和英國海岸線的數學分析中，發現類似規律。他總結自然界中很多現象從标度變換角度表現出的對稱性。他将這類集合稱作自相似集，其嚴格定義可由相似映射給出。他認為，歐氏測度不能刻劃這類集的本質，轉向維數的研究，發現維數是尺度變換下的不變量，主張用維數來刻劃這類集合。 

1975年，曼德爾布羅特用法文出版了分形幾何第一部著作《分形：形狀、機遇和維數》。1977年該書再次用英文出版。它集中了1975年以前曼德爾布羅特關于分形幾何的主要思想，它将分形定義為豪斯道夫維數嚴格大于其拓樸維數的集合，總結了根據自相似性計算實驗維數的方法，由于相似維數隻對嚴格自相似這一小類集有意義，豪斯道夫維數雖然廣泛，但在很多情形下難以用計算方法求得，是以分形幾何的應用受到局限。 

1982年，曼德爾布羅特的新著《自然界的分形幾何》出版，将分形定義為局部以某種方式與整體相似的集，重新讨論盒維數，它比豪斯道夫維數容易計算，但是稠密可列集盒維數與集所在空間維數相等。為避免這一缺陷，1982年特裡科特（C.Tricot）引入填充維數， 

1983年格拉斯伯格（P.Grassberger）和普羅克西娅（I.Procaccia）提出根據觀測記錄的時間資料列直接計算動力系統吸引子維數的算法。 

1985年，曼德爾布羅特提出并研究自然界中廣泛存在的自仿射集，它包括自相似集并可通過仿射映射嚴格定義。1982年德金（F.M.Dekking）研究遞歸集，這類分形集由疊代過程和嵌入方法生成，範圍更廣泛，但維數研究非常困難。德金獲得維數上界。1989年，鐘紅柳等人解決了德金猜想，确定了一大類遞歸集的維數。 

随着分形理論的發展和維數計算方法的逐漸提出與改進，1982年以後，分形理論逐漸在很多領域得到應用并越來越廣泛。建立簡便盛行的維數計算方法，以滿足應用發展的需要，還是一項艱巨的任務。 

自然界中的分形，與機率統計、随機過程關系密切。确定性的古典分形集加入随機性，就會産生出随機康托集、随機科契曲線等各種随機分形。1968年，曼德爾布羅特研究布朗運動這一随機過程時，将其推廣到與分形有關的分數布朗運動。1974年他又提出了分形滲流模型。1988年，柴葉斯（j.T.Chayes）給出了詳細的數學分析。1984年，紮樂（U.Zahle）通過随機删除而得到十分有趣的分形構造，随機分形能更真實地描述和模拟自然現象。 

動力系統中的分形集是近年分形幾何中最活躍和引人入勝的一個研究領域。動力系統的奇異吸引子通常都是分形集，它們産生于非線性函數的疊代和非線性微分方程中。1963年，氣象學家洛倫茲（E.N.Lorenz）在研究流體的對流運動時，發現了以他的名字命名的第一個奇異吸引子，它是一個典型的分形集。 

1976年，法國天文學家伊侬（M.Henon）考慮标準二次映射疊代系統時獲得伊侬吸引子。它具有某種自相似性和分形性質。1986年勞威爾（H.A.Lauwerier）将斯梅爾的馬蹄映射變形成勞威爾映射，其疊代下不穩定流形的極限內建為典型的奇異吸引子，它與水準線的截面為康托集。1985年，格雷波基（C.Grebogi）等構造了一個二維疊代函數系統，其吸附界是維爾斯特拉斯函數，并得到盒維數。1985年，邁克多納（S.M.MacDonald）和格雷波基等得到分形吸附界的三種類型： 

（1） 局部不連通的分形集； 

（2） 局部連通的分形拟圓周； 

（3） 既不局部連能又不是拟圓周。前兩者具有拟自相似性。 

動力系統中另一類分形集來源于複平面上解析映射的疊代。朱利亞（G.Julia）和法圖（P.Fatou）于1918-1919年間開創這一研究。他們發現，解析映射的疊代把複平面劃分成兩部分，一部分為法圖集，另一部分為朱利亞集（J集）。他們在處理這一問題時還沒有計算機，完全依賴于他們自身固有的想象力，是以他們的智力成就受到局限。随後50年間，這方面的研究沒有得到什麼進展。  

随着可用機算機來做實驗，這一研究課題才又獲得生機。1980年，曼德爾布羅特用計算機繪出用他名字命名的曼德爾布羅特集（M集）的第一張圖來。1982道迪（A.Douady）構造了含參二次複映射fc ，其朱利亞集J（fc）随參數C的變化呈現各種各樣的分形圖象，著名的有道迪免子，聖馬科吸引子等。同年，茹厄勒（D.Ruelle）得到J集與映射系數的關系，解新局面了解析映射擊集豪斯道夫維數的計算問題。茄勒特（L.Garnett）得到J（fc）集豪斯道夫維數的數值解法。1983年，韋當（M.Widom）進一步推廣了部分結果 。法圖1926年就就開始整函數疊代的研究。1981年密休威茨（M.Misiuterwicz）證明指數映射的J集為複平面，解決了法圖提出的問題，引起研究者極大興趣。發現超越整函數的J集與有理映射J的性質差異，1984年德萬尼（R.L.Devanney）證明指數映射Eλ的J（Eλ）集是康托束或複平面而J（fc）是康托塵或連通集。 

複平面上使J（fc）成為連通集的點C組成M集即曼德爾布羅特集，尤更斯（H.Jurgens）和培特根（H-O.Peitgen）認為，M集的性質過去一直是并且将來繼續是數學研究的一個巨大難題。通過将數學理論與計算機圖形學實驗加以融合，及道迪、扈巴德（H.Hubbard）等人在這方面進行的基礎性研究工作，在解決這一難題方面已取得重大進展，使人們加深了對M集的了解。道迪和扈巴德1982年證明M集是連通的和單連通的，人們猜測M集是局部連通的，目前每一張計算機圖形都證明了這一猜測，但至今還沒有人能給予證明。M是否為弧連通，目前尚不清楚。M集邊界的維數也是值得研究的問題之一。 

M集除了将J集分成連通與非連通的兩類之外，還起着無窮個J集的圖解目錄表作用，即把M集C點周圍的圖形放大就是與C點有關的J集的組成部分。但這一發現的數學密性至今仍未确定，譚磊（Tan Lei）1985年證明了在每一個密休威茨點鄰近M集與相關的J集之間存在着相似性。尤金斯等在M集的靜電位研究中獲得與自然形貌相似的分形圖象。目前包括尤金斯等在内的很多研究人員都緻力于借助計算機活動錄象探索M集。其它一些分形集的研究工作正在取得進展。1990年德萬尼通過數值實驗觀察到M集的複雜圖形由許多不同周期的周期軌道的穩定區域共同構成。1991年黃永念運用他提出的代數分析法證明了這一事實，研究了M集及其廣義情況周期軌道整體解析特性。 

巴斯萊（B.M.Barnsley）和德門科（S.Demko）1985年引入疊代函數系統，J集及其其它很多分形集都是某些疊代函數的吸引集，用其它方法産生的分形集也可用疊代函數系逼近。1988年，勞威爾通過數值研究發現畢達哥拉斯樹花是一疊代函數系的J集。1985年巴斯萊等研究含參數的函數系疊代動力系統，得到M集D并D與M在連通性上的差異。在一線性映射系疊代下，可以産生著名的分形曲線——雙生龍曲線。1986年水谷（M.Mitzutani）等對其動力系統進行了研究。 

一般動力系統中的分形集，其豪斯道夫維數dH難以通過理論方法或計算方法求得。對于有疊式構造的分形集，貝德浮德（T.Bedford）等在1986年已給出卓有成效的算法，但對一般非線性映射疊代動力系統産生的分形集，這些結果都難以應用，其豪斯道夫維數dH的結論與算法實際上沒有。卡普蘭（j.L.Kaplan）和約克（J.A.York） 1979年引入李雅普洛夫維數dL并猜測dL=dH。1981年勒拉皮爾證明dH≤dL。楊（L.S.Young）1982年證明二維情況下dH=dL。艾茄瓦（A.K.Agarwal）等1986年給出例子說明高維情形卡普蘭-約克猜測不成立。這一猜測力圖從動力學特征推斷幾何結構，其反問題是由吸引子維數推斷混沌力學，這是值得研究的問題。但目前工作甚少且主要限于計算機研究。此外，含參動力系統在混沌臨界态或突變處的分形集維數也有待進一步研究。 

多重分形（multifractals）是與動力系統奇異吸引子有關的另一類重要分形集，其概念首先由曼德布羅特和倫依（A.Renyi）引入。法默（J.D.Farmer）等在1983年定義了多重分形廣義維數。1988年博爾（T.Bohr）等人将拓撲熵引入多重分形的動力學描述與熱力學類比。1988年，阿内多（A.Arneodo）等人将子波變換用于多重分形研究。費德（J.Feder）、特爾（T.Tel）等人進行了多重分形子集及标度指數的研究。阿姆特裡卡等研究了多重分形的逆問題，提出廣義配分函數，給出廣義超越維數，對過去的維數進行了修正。李（J.Lee）等發現了多重分形熱力學形式上的相變。1990年，伯克（C.Beck）得到廣義維數的上下界和極限并研究了多重分形的均勻性量度。曼德布羅特研究了随機多重分形及負分維。1991年科維克（Z.Kov.acs）等引入雙變量疊代系統，最大特征值和吉布斯勢導出維數、熵、李雅普洛夫指數，提供了對多重分形相變分類的一般方案。對于多重分形相變分類的一般方案。對于多重分形目前雖已提出不少處理方法，但從數學的觀點上看，還不夠嚴格，部分問題的數學處理難度也較大。 

分形理論真正發展起來才十餘年，并且方興未艾，很多方面的理論還有待進一步研究。值得注意的是，近年分形理論的應用發展遠遠超過了理論的發展，并且給分形的數學理論提出了更新更高的要求。各種分形維數計算方法和實驗方法的建立、改進和完善，使之理論簡便，可操作性強，是應用分形的科學家們普遍關注的問題。而在理論研究上，維數的理論計算、估計、分形重構（即求一動力系統，使其吸引集為給定分形集）、J集和M集及其推廣形式的性質、動力學特征及維數研究将會成為數學工作者們十分活躍的研究領域。多重分形理論的完善、嚴格以及如何用這些理論來解決實際問題可能會引起科學家們廣泛的興趣，而動力學特征、相變和子波變換可能會成為其中的幾個熱點。

在哲學方面，人們的興趣在于自相似性的普适性，M集和J集表現出的簡單性與複雜性，複數與實數的統一性，多重分形相變與突變論的關系，自組織臨界（SOC）現象的刻畫以及分形體系内部的各種沖突的轉化等。可以預言，一場關于分形科學哲學問題的讨論即将在國内展開。

有關書籍：

可一購買到的

《分形》 

《分形》（錄像帶） 

《分形論——奇異性探索》 

《分形漫步》 

《科學家談實體-漫談分形》 

《從牛頓到曼德爾布勞特》 

《分形和分維引論》 

《随機分形引論》 

《空間和時間分形學初論》 

《分形對象-形、機遇和維數》 

《分形理論的哲學發轫》 

《分形的哲學漫步》 

《分形理論及其應用》 

《分形理論及其應用》 

《分形理論及其應用》 

《分形的理論及應用》 

《混沌、分形及其應用》 

《分形與渾沌在地球科學中的應用》 

《複雜系統的分形理論與應用》 

《分形理論及其在分子科學中的應用》 

《分形表面》 

《分形媒體反應動力學》 

《金屬中的分形與複雜性》 

《礦産勘查中的分形、混沌與ANN》 

《課堂分形學：政策活動》 

《混沌、分形和噪聲》 

《分形和無序系統》 

《運用分形理論進行信号處理》 

《地震分形》 

《Fractal Programming in C》 

《Advanced Fractal Programming in C》 

連結位址：http://www.fractal.cn/east_new/fxlz01/fxlz014.htm