本文是機器之心第二個 GitHub 實作項目，上一個 GitHub 實作項目為從頭開始建構卷積神經網絡。在本文中，我們将從原論文出發，借助 Goodfellow 在 NIPS 2016 的演講和台大李弘毅的解釋，完成原 GAN 的推導、證明與實作。
本文主要分四部分，第一部分描述 GAN 的直覺概念，第二部分描述概念與優化的形式化表達，第三部分将對 GAN 進行詳細的理論推導與分析，最後我們将實作前面的理論分析。
- GitHub項目位址：https://github.com/jiqizhixin/ML-Tutorial-Experiment
本文更注重理論與推導，更多生成對抗網絡的概念與應用請參閱：
生成對抗網絡基本概念
要了解生成對抗模型（GAN），首先要了解生成對抗模型可以拆分為兩個子產品：一個是判别模型，另一個是生成模型。簡單來說就是：兩個人比賽，看是 A 的矛厲害，還是 B 的盾厲害。比如，我們有一些真實資料，同時也有一把随機生成的假資料。A 拼命地把随手拿過來的假資料模仿成真實資料，并揉進真實資料裡。B 則拼命地想把真實資料和假資料區分開。
這裡，A 就是一個生成模型，類似于造假币的，一個勁地學習如何騙過 B。而 B 則是一個判别模型，類似于稽查警察，一個勁地學習如何分辨出 A 的造假技巧。
如此這般，随着 B 的鑒别技巧越來越厲害，A 的造假技巧也是越來越純熟，而一個一流的假币制造者就是我們所需要的。雖然 GAN 背後的思想十分直覺與樸素，但我們需要更進一步了解該理論背後的證明與推導。
總的來說，Goodfellow 等人提出來的 GAN 是通過對抗過程估計生成模型的新架構。在這種架構下，我們需要同時訓練兩個模型，即一個能捕獲資料分布的生成模型 G 和一個能估計資料來源于真實樣本機率的判别模型 D。生成器 G 的訓練過程是最大化判别器犯錯誤的機率，即判别器誤以為資料是真實樣本而不是生成器生成的假樣本。是以，這一架構就對應于兩個參與者的極小極大博弈（minimax game）。在所有可能的函數 G 和 D 中，我們可以求出唯一均衡解，即 G 可以生成與訓練樣本相同的分布，而 D 判斷的機率處處為 1/2，這一過程的推導與證明将在後文詳細解釋。
當模型都為多層感覺機時，對抗性模組化架構可以最直接地應用。為了學習到生成器在資料 x 上的分布 P_g，我們先定義一個先驗的輸入噪聲變量 P_z(z)，然後根據 G(z;θ_g) 将其映射到資料空間中，其中 G 為多層感覺機所表征的可微函數。我們同樣需要定義第二個多層感覺機 D(s;θ_d)，它的輸出為單個标量。D(x) 表示 x 來源于真實資料而不是 P_g 的機率。我們訓練 D 以最大化正确配置設定真實樣本和生成樣本的機率，是以我們就可以通過最小化 log(1-D(G(z))) 而同時訓練 G。也就是說判别器 D 和生成器對價值函數 V(G,D) 進行了極小極大化博弈：
我們後一部分會對對抗網絡進行理論上的分析，該理論分析本質上可以表明如果 G 和 D 的模型複雜度足夠（即在非參數限制下），那麼對抗網絡就能生成資料分布。此外，Goodfellow 等人在論文中使用如下案例為我們簡要介紹了基本概念。
如上圖所示，生成對抗網絡會訓練并更新判别分布（即 D，藍色的虛線），更新判别器後就能将資料真實分布（黑點組成的線）從生成分布 P_g(G)（綠色實線）中判别出來。下方的水準線代表采樣域 Z，其中等距線表示 Z 中的樣本為均勻分布，上方的水準線代表真實資料 X 中的一部分。向上的箭頭表示映射 x=G(z) 如何對噪聲樣本（均勻采樣）施加一個不均勻的分布 P_g。（a）考慮在收斂點附近的對抗訓練：P_g 和 P_data 已經十分相似，D 是一個局部準确的分類器。（b）在算法内部循環中訓練 D 以從資料中判别出真實樣本，該循環最終會收斂到 D（x）=p_data（x）/（p_data（x）+p_g（x））。（c）随後固定判别器并訓練生成器，在更新 G 之後，D 的梯度會引導 G（z）流向更可能被 D 分類為真實資料的方向。（d）經過若幹次訓練後，如果 G 和 D 有足夠的複雜度，那麼它們就會到達一個均衡點。這個時候 p_g=p_data，即生成器的機率密度函數等于真實資料的機率密度函數，也即生成的資料和真實資料是一樣的。在均衡點上 D 和 G 都不能得到進一步提升，并且判别器無法判斷資料到底是來自真實樣本還是僞造的資料，即 D（x）= 1/2。
上面比較精簡地介紹了生成對抗網絡的基本概念，下一節将會把這些概念形式化，并描述優化的大緻過程。
概念與過程的形式化
理論完美的生成器
該算法的目标是令生成器生成與真實資料幾乎沒有差別的樣本，即一個造假一流的 A，就是我們想要的生成模型。數學上，即将随機變量生成為某一種機率分布，也可以說機率密度函數為相等的：P_G(x)=P_data(x)。這正是數學上證明生成器高效性的政策：即定義一個最優化問題，其中最優生成器 G 滿足 P_G(x)=P_data(x)。如果我們知道求解的 G 最後會滿足該關系，那麼我們就可以合理地期望神經網絡通過典型的 SGD 訓練就能得到最優的 G。
最優化問題
正如最開始我們了解的警察與造假者案例，定義最優化問題的方法就可以由以下兩部分組成。首先我們需要定義一個判别器 D 以判别樣本是不是從 P_data(x) 分布中取出來的，是以有：
其中 E 指代取期望。這一項是根據「正類」（即辨識出 x 屬于真實資料 data）的對數損失函數而建構的。最大化這一項相當于令判别器 D 在 x 服從于 data 的機率密度時能準确地預測 D(x)=1，即：
另外一項是企圖欺騙判别器的生成器 G。該項根據「負類」的對數損失函數而建構，即：
因為 x<1 的對數為負，那麼如果最大化該項的值，則需要令均值 D(G(z))≈0，是以 G 并沒有欺騙 D。為了結合這兩個概念，判别器的目标為最大化：
給定生成器 G，其代表了判别器 D 正确地識别了真實和僞造資料點。給定一個生成器 G，上式所得出來的最優判别器可以表示為 （下文用 D_G*表示）。定義價值函數為：
然後我們可以将最優化問題表述為：
現在 G 的目标已經相反了，當 D=D_G*時，最優的 G 為最小化前面的等式。在論文中，作者更喜歡求解最優化價值函的 G 和 D 以求解極小極大博弈：
對于 D 而言要盡量使公式最大化（識别能力強），而對于 G 又想使之最小（生成的資料接近實際資料）。整個訓練是一個疊代過程。其實極小極大化博弈可以分開了解，即在給定 G 的情況下先最大化 V(D,G) 而取 D，然後固定 D，并最小化 V(D,G) 而得到 G。其中，給定 G，最大化 V(D,G) 評估了 P_G 和 P_data 之間的差異或距離。
最後，我們可以将最優化問題表達為：
上文給出了 GAN 概念和優化過程的形式化表達。通過這些表達，我們可以了解整個生成對抗網絡的基本過程與優化方法。當然，有了這些概念我們完全可以直接在 GitHub 上找一段 GAN 代碼稍加修改并很好地運作它。但如果我們希望更加透徹地了解 GAN，更加全面地了解實作代碼，那麼我們還需要知道很多推導過程。比如什麼時候 D 能令價值函數 V(D,G) 取最大值、G 能令 V(D,G) 取最小值，而 D 和 G 該用什麼樣的神經網絡（或函數），它們的損失函數又需要用什麼等等。總之，還有很多理論細節與推導過程需要我們進一步挖掘。
理論推導
在原 GAN 論文中，度量生成分布與真實分布之間差異或距離的方法是 JS 散度，而 JS 散度是我們在推導訓練過程中使用 KL 散度所建構出來的。是以這一部分将從理論基礎出發再進一步推導最優判别器和生成器所需要滿足的條件，最後我們将利用推導結果在數學上重述訓練過程。這一部分為我們下一部分了解具體實作提供了強大的理論支援。
KL 散度
在資訊論中，我們可以使用香農熵（Shannon entropy）來對整個機率分布中的不确定性總量進行量化：
如果我們對于同一個随機變量 x 有兩個單獨的機率分布 P(x) 和 Q(x)，我們可以使用 KL 散度（Kullback-Leibler divergence）來衡量這兩個分布的差異：
在離散型變量的情況下，KL 散度衡量的是，當我們使用一種被設計成能夠使得機率分布 Q 産生的消息的長度最小的編碼，發送包含由機率分布 P 産生的符号的消息時，所需要的額外資訊量。
KL 散度有很多有用的性質，最重要的是它是非負的。KL 散度為 0 當且僅當 P 和 Q 在離散型變量的情況下是相同的分布，或者在連續型變量的情況下是 『幾乎處處』 相同的。因為 KL 散度是非負的并且衡量的是兩個分布之間的差異，它經常 被用作分布之間的某種距離。然而，它并不是真的距離因為它不是對稱的：對于某些 P 和 Q，D_KL(P||Q) 不等于 D_KL(Q||P)。這種非對稱性意味着選擇 D_KL(P||Q) 還是 D_KL(Q||P) 影響很大。
在李弘毅的講解中，KL 散度可以從極大似然估計中推導而出。若給定一個樣本資料的分布 P_data(x) 和生成的資料分布 P_G(x;θ)，那麼 GAN 希望能找到一組參數θ使分布 P_g(x;θ) 和 P_data(x) 之間的距離最短，也就是找到一組生成器參數而使得生成器能生成十分逼真的圖檔。
現在我們可以從訓練集抽取一組真實圖檔來訓練 P_G(x;θ) 分布中的參數 θ 使其能逼近于真實分布。是以，現在從 P_data(x) 中抽取 m 個真實樣本 {x^1,x^2,…,x^