《數論概論》讀書筆記 第三章勾股數組與機關圓

本章講的是勾股數組與機關圓的關系，講關于勾股數的公式可以通過幾何形式來推出。

定理3.1:

• 圓x2+y2=1上的坐标是有理數的點都可以由公式： (x,y)=(1−m21+m2,2m1+m2)得到，其中m取有理數值.（點(−1,0)例外，這個當m→∞時的極限值 ）。

習題解析：

1.

(a)如果u和v有公因數，假設d|u且d|v，那麼顯然會有d|a,d|b,d|c，是以(a,b,c)不是本原勾股數組。

(b)是否存在u和v沒有公因數(u>0,v>0)，但是該三元組(u2−v2,2uv,u2+v2)不是本原的。如果要讓d|a,d|b,d|c，又要讓d不被u或v整除，那麼隻有讓d=2，v和u是奇數，那麼顯然a和c是偶數，2uv也是偶數，例如(6,8,10),此時u=3,v=1.

(c)自己打表。

(d)打表可以發現，當u和v互質且u和v一奇一偶時，(a,b,c)是本原的。

(e)證明：u=2k+1,v=2t

u2+v2=4k2+4k+1+4t2

2uv=2∗2t(2k+1)

u2−v2=4k2+4k+1−4t2

反證：

設(u2−v2,2uv,u2−v2)不是本原的，即存在d

d!=1且d不能整除u或v

d|(4k2+4k+1+4t2)..................1

d|2∗2t(2k+1).........................2

d|(4k2+4k+1−4t2)...................3

如果d來自2，那麼顯然與1式和3式沖突。

如果d來自2t，那麼d不整除u，與1式和3式沖突。

同理如果d來自(2k+1)，與1式和3式沖突

是以當u和v一奇一偶且互質時，(u2−v2,2uv,u2−v2)才是本原的。

2.

(a)(v2−2uv−u2u2+v2,u2−2uv+v2u2+v2)

(b)如果用相同的方法求圓x2+y2=3上所有坐标為有理數的點，那麼會發現沒有一個坐标為有理數值點能夠作為基準點，也就是不能找到能起到像x2+y2=2中的點(1,1)，x2+y2=1中的點(−1,0)這種作用的點。