單頻阻抗比對：采用四分之一波長變換器

1. 什麼是阻抗比對

在傳輸線理論中，考慮一段特征阻抗為 Z 0 Z_0 Z0​ 的傳輸線，其終端連接配接一個阻抗為 Z L Z_L ZL​ 的負載。

若兩個阻抗為複數：

Z 0 = R 0 + j X 0 (1a) Z_0=R_0+jX_0\tag{1a} Z0​=R0​+jX0​(1a)

Z L = R L + j X L (1b) Z_L=R_L+jX_L\tag{1b} ZL​=RL​+jXL​(1b)

當 Z 0 Z_0 Z0​ 和 Z L Z_L ZL​ 實部相等、虛部相反時，傳輸線與負載即實作阻抗比對，這種情況稱為“共轭比對”：

R 0 = R L (2a) R_0=R_L\tag{2a} R0​=RL​(2a)

X 0 = − X L (2b) X_0=-X_L\tag{2b} X0​=−XL​(2b)

若兩個阻抗為實數，那麼當兩個實數阻抗相等，即 Z 0 = Z L Z_0=Z_L Z0​=ZL​ 時，傳輸線與負載即實作阻抗比對。

那麼，當傳輸線與負載阻抗不比對時，會發生什麼呢？

考慮一個正弦信号 V 0 + e − j β z V_0^+e^{-j{\beta}z} V0+​e−jβz 從 z < 0 z<0 z<0 入射到這個由傳輸線中。當信号在傳輸線上傳播時，信号的幅值為 V ( z ) V(z) V(z)，傳輸線上相應的電流為 I ( z ) I(z) I(z)，它們的比值即為傳輸線的特征阻抗 Z 0 Z_0 Z0​；而當信号到達負載時，信号幅值和電流的比值則為負載阻抗 Z L Z_L ZL​，在 z = 0 z=0 z=0 處的阻抗産生不連續性，此時傳輸線上将産生一個反射信号來使 z = 0 z=0 z=0 處的阻抗條件得到滿足。是以，傳輸線和負載阻抗不比對導緻會信号反射。

解決這個問題的方法是，在傳輸線與負載之間加入一個阻抗比對網絡（Impedance Matching Network），來使從傳輸線看向比對網絡時的阻抗為 Z 0 Z_0 Z0​，這樣，傳輸線上的信号反射可以被消除。不過，比對網絡與負載之間仍會存在信号反射的。

對射頻網絡進行「阻抗比對」，就是設計阻抗比對網絡的結構和參數，進而實作消除傳輸線反射的目标。目前比較友善地進行阻抗比對的方法有計算機仿真、利用 Smith 圓圖圖解等。與這些方法相比，手工推導阻抗比對網絡解析解的方法比較繁瑣，不過應對一些簡單的阻抗比對問題還是遊刃有餘的。

今天就來手工推導一個單頻阻抗比對網絡，也就是在單一頻率上，讓一個具有任意阻抗的負載與具有實數阻抗的傳輸線實作比對。可以實作比對的網絡結構有多種，今天我們采用四分之一波長變換器 (The Quarter-wave Transformer)。

四分之一波長變換器是指一段長度等于傳輸信号波長的四分之一的傳輸線，它是一種簡單實用的單頻點阻抗比對電路。為什麼叫「變換器」呢，下文會給出解釋。

2. 傳輸線阻抗方程

推導阻抗比對問題一定會涉及到的一個公式是傳輸線阻抗方程 (Transmission Line Impedance Equation)。它的含義是，當一段阻抗為 Z 0 Z_0 Z0​、長度為 l l l 的傳輸線終端連接配接着阻抗為 Z L Z_L ZL​ 的負載時，兩者構成了一個網絡：

看向這個網絡的輸入阻抗 Z i n Z_{in} Zin​ 将不再是 Z 0 Z_0 Z0​。 Z i n Z_{in} Zin​ 變為：

Z i n = Z 0 ⋅ Z L + j Z 0 t a n β l Z 0 + j Z L t a n β l (3) Z_{in}=Z_0\cdot\frac{Z_L+jZ_0{\rm tan}{\beta}l}{Z_0+jZ_L{\rm tan}{\beta}l}\tag{3} Zin​=Z0​⋅Z0​+jZL​tanβlZL​+jZ0​tanβl​(3)

其中， β = 2 π / λ \beta=2\pi/\lambda β=2π/λ ， λ \lambda λ為在網絡中傳播的信号波長。

詳細推導可以戳。

3. 實數阻抗比對

首先來讨論負載的阻抗為實數時的阻抗比對。負載阻抗為 Z L Z_L ZL​，傳輸線的阻抗為 Z 0 Z_0 Z0​，作為阻抗比對網絡的四分之一波長變換器的阻抗為 Z 1 Z_1 Z1​，長度是傳播的信号波長的1/4。我們的任務就是找到合适的 Z 1 Z_1 Z1​值，令負載與傳輸線的阻抗比對。

根據式(3)，看向阻抗比對網絡的輸入阻抗 Z i n Z_{in} Zin​ 可以表示為：

Z i n = Z 1 ⋅ Z L + j Z 1 t a n β l Z 1 + j Z L t a n β l (4) Z_{in}=Z_1\cdot\frac{Z_L+jZ_1{\rm tan}{\beta}l}{Z_1+jZ_L{\rm tan}{\beta}l}\tag{4} Zin​=Z1​⋅Z1​+jZL​tanβlZL​+jZ1​tanβl​(4)

等号右側分子分母同除以 t a n β l tan{\beta}l tanβl，得：

Z i n = Z 1 ⋅ Z L t a n β l + j Z 1 Z 1 t a n β l + j Z L (5) Z_{in}=Z_1\cdot\frac{\frac{Z_L}{{\rm tan}{\beta}l}+jZ_1}{\frac{Z_1}{{\rm tan}{\beta}l}+jZ_L}\tag{5} Zin​=Z1​⋅tanβlZ1​​+jZL​tanβlZL​​+jZ1​​(5)

其中：

t a n β l = t a n 2 π λ ⋅ λ 4 = t a n π 2 → ∞ (6) {\rm tan}{\beta}l={\rm tan}\frac{2π}{\lambda}·\frac{\lambda}{4}={\rm tan}\frac{π}{2}\rightarrow\infty\tag{6} tanβl=tanλ2π​⋅4λ​=tan2π​→∞(6)

是以，式(5)可以簡化為：

Z i n = Z 1 ⋅ j Z 1 j Z L = Z 1 2 Z L (7) Z_{in}=Z_1·\frac{jZ_1}{jZ_L}=\frac{Z_1^2}{Z_L}\tag{7} Zin​=Z1​⋅jZL​jZ1​​=ZL​Z12​​(7)

式(7)直覺地展示了四分之一波長變換器的特性，它将阻抗從 Z L Z_L ZL​ 變換為 Z 1 2 / Z L Z_1^2/Z_L Z12​/ZL​ ，故稱「變換器」。為了實作阻抗比對，令 Z i n = Z 0 Z_{in}=Z_0 Zin​=Z0​，則有：

Z 1 = Z 0 Z L (8) Z_1=\sqrt{Z_0Z_L}\tag{8} Z1​=Z0​ZL​

​(8)

是以，我們隻需要讓傳輸線與阻抗之間的四分之一波長變換器的阻抗按式(8)取值，即可使實作将實數負載阻抗比對至傳輸線。

4. 複數阻抗比對

現在來讨論更具一般性的情況，即傳輸線的阻抗為實數，而負載的阻抗為複數時的阻抗比對，此時 Z L = R L + j X L Z_L=R_L+jX_L ZL​=RL​+jXL​。四分之一波長變換器隻能比對實數阻抗至傳輸線，我們的思路是設法将負載的複數阻抗轉換為實數阻抗，這可以通過在四分之一波長變換器和負載之間并聯終端短路或開路的短截線來實作。

終端短路的短截線相當于終端連接配接了阻抗等于0的負載，根據式(3)，終端短路短截線的輸入阻抗 Z i n ⋅ s h o r t Z_{in·short} Zin⋅short​ 可以表示為：

Z i n ⋅ s h o r t = Z 0 ⋅ 0 + j Z 0 t a n β l Z 0 + j 0 t a n β l = j Z 0 t a n β l (9) Z_{in·short}=Z_0\cdot\frac{0+jZ_0{\rm tan}{\beta}l}{Z_0+j0{\rm tan}{\beta}l}=jZ_0{\rm tan}{\beta}l\tag{9} Zin⋅short​=Z0​⋅Z0​+j0tanβl0+jZ0​tanβl​=jZ0​tanβl(9)

是以，終端短路的短截線的輸入阻抗為純虛數，且可以取 − j ∞ -j\infty −j∞ 至 + j ∞ +j\infty +j∞ 之間的任意值。

終端開路的短截線則相當于終端連接配接了阻抗無窮大的負載，同樣可以推導得到其輸入阻抗為：

Z i n ⋅ o p e n = − j Z 0 c o t β l (10) Z_{in·open}=-jZ_0{\rm cot}{\beta}l\tag{10} Zin⋅open​=−jZ0​cotβl(10)

其輸入阻抗也為純虛數，且可以取 − j ∞ -j\infty −j∞ 至 + j ∞ +j\infty +j∞ 之間的任意值。

回到圖中，負載阻抗 Z L = R L + j X L Z_L=R_L+jX_L ZL​=RL​+jXL​，将其轉換為導納形式：

Y L = G L + j B L (11) Y_L=G_L+jB_L\tag{11} YL​=GL​+jBL​(11)

并聯的終端開路短截線的輸入阻抗 Z i n 0 = − j Z 0 c o t β l Z_{in0}=-jZ_0{\rm cot}{\beta}l Zin0​=−jZ0​cotβl，同樣将其轉換為導納形式：

Y i n 0 = − j B 0 (12) Y_{in0}=-jB_0\tag{12} Yin0​=−jB0​(12)

此時，看向負載與短截線并聯網絡的輸入導納 Y i n 1 = Y L + Y i n 0 Y_{in1}=Y_L+Y_{in0} Yin1​=YL​+Yin0​ 。通過對短截線取合适的長度，總可以使 B 0 = B L B_0=B_L B0​=BL​，将負載阻抗的虛部抵消，進而實作将負載的複數阻抗變換為實數阻抗：

Y i n 1 = Y L + Y i n 0 = G L + j B L − j B 0 = G L (13) Y_{in1}=Y_L+Y_{in0}=G_L+jB_L-jB_0=G_L\tag{13} Yin1​=YL​+Yin0​=GL​+jBL​−jB0​=GL​(13)

轉回阻抗形式：

Z i n 1 = R L (14) Z_{in1}=R_L\tag{14} Zin1​=RL​(14)

接下來就是熟悉的路子了，參考式(4)-(7)，經過四分之一波長變換器的輸入阻抗 Z i n 2 Z_{in2} Zin2​ 表示為：

Z i n 2 = Z 1 2 R L (15) Z_{in2}=\frac{Z_1^2}{R_L}\tag{15} Zin2​=RL​Z12​​(15)

為了實作阻抗比對，令 Z i n 2 = Z 0 Z_{in2}=Z_0 Zin2​=Z0​，則有：

Z 1 = Z 0 R L (16) Z_1=\sqrt{Z_0R_L}\tag{16} Z1​=Z0​RL​

​(16)

這樣，通過并聯終端開路短截線和四分之一波長變換器，就将複數負載阻抗比對至傳輸線了。我們也可以将終端開路短截線替換為終端短路短截線，在實際應用中，視兩種短截線的加工難易程度決定。

以上阻抗比對網絡，隻适用于 l l l 等于傳輸信号波長的1/4或者1/4的奇數倍的情況，是以它隻能在單個頻率上實作比對，是以稱「單頻阻抗比對」。還有可以實作「雙頻阻抗比對」和「三頻阻抗比對」的阻抗比對網絡，改日再談。

參考文獻

[1]. Pozar, David M. Microwave engineering. John wiley & sons, 2011.

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