POJ1061_青蛙的約會_擴充歐幾裡得

青蛙的約會

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Description

兩隻青蛙在網上相識了，它們聊得很開心，于是覺得很有必要見一面。它們很高興地發現它們住在同一條緯度線上，于是它們約定各自朝西跳，直到碰面為止。可是它們出發之前忘記了一件很重要的事情，既沒有問清楚對方的特征，也沒有約定見面的具體位置。不過青蛙們都是很樂觀的，它們覺得隻要一直朝着某個方向跳下去，總能碰到對方的。但是除非這兩隻青蛙在同一時間跳到同一點上，不然是永遠都不可能碰面的。為了幫助這兩隻樂觀的青蛙，你被要求寫一個程式來判斷這兩隻青蛙是否能夠碰面，會在什麼時候碰面。 

我們把這兩隻青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且規定緯度線上東經0度處為原點，由東往西為正方向，機關長度1米，這樣我們就得到了一條首尾相接的數軸。設青蛙A的出發點坐标是x，青蛙B的出發點坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，兩隻青蛙跳一次所花費的時間相同。緯度線總長L米。現在要你求出它們跳了幾次以後才會碰面。 

Input

輸入隻包括一行5個整數x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

輸出碰面所需要的跳躍次數，如果永遠不可能碰面則輸出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5      

Sample Output

4      

感覺真是。。。經過曠日持久的抗争終于把原理搞明白了。思路梳理如下

1） 由題目得出式子 ( n - m ) * t + k * l = x - y ——t表示時間，k表示青蛙跑過的整圈數

2） 變形為 a t + b k = d —— a = n - m, b = l , d = x - y。

3） 上式有點擴充歐幾裡得的特征。隻要 d 是 a， b 的公約數，就能用擴充歐幾裡得求解出一個x。若不是，則沒有解

4） 若無解，直接輸出impossib就好了。有解則需用擴充歐幾裡得算出一個x

5） 所得的x滿足方程，但不一定是正的，也不一定是最小的。為了保證這一點就要用到一個事實：在 【0，b/d）内，有且僅有一個x滿足方程。這一點可以嚴格證明，其實靠想象力也完全能了解。就這個題來說不用深究。

t = (t % b + b) % b;

這裡的通解公式有助于了解：

http://blog.csdn.net/yuege38/article/details/65086986

#include<cstdio>
#include<iostream>

using namespace std;

long long x, y, m, n, l;
/*******
		擴充歐幾裡得函數
						*******/
int ex_gcd (int a, int b, long long &t, long long &p)
{
	if(b == 0){
		t = 1, p = 0;
		return a;
	}

	int c = ex_gcd(b, a%b, p, t);//注意細節

	p -= a / b * t;//結合上一行了解

	return c;
}

int main()
{
	while( ~scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x, &y, &m, &n, &l) ){

		int a = n - m, b = l, d = x - y;//轉化為擴充歐幾裡得的方程形式

		if( a == 0){//如果n == m，肯定追不上
			printf("Impossible\n");
			continue;
		}

		long long t, p, c;//時間，圈數，最大公約數
		c = ex_gcd(a, b, t, p);//擴充歐幾裡得函數

		if(d % c) printf("Impossible\n");//如果實際不上不是擴充歐幾裡得方程，追不上
		else {

			b = b / c;
			d = d / c;

			t = d * t;
			t = (t % b + b) % b;//最小正整數
			printf("%lld\n",t);

		}

	}

	return 0;

}