循環矩陣與傅裡葉相關的幾點性質
文章為作者原創，轉載請申明來源：http://blog.csdn.net/u013288466/article/details/53575692
最近在看joao F. Henriques在15年paimi上的KCF&DCF跟蹤論文，其用到了循環矩陣來生産密集采樣樣本，并且用循環矩陣與傅裡葉變換的關系來簡化計算，即在頻域用循環矩陣的基向量就可以表述循環矩陣。現對文章中循環矩陣與傅裡葉相關的兩個重要公式進行推導和證明。
首先，定義循環矩陣：
X是有行向量x依次向右循環一位得到的（注意，有些資料是由列向量循環而來）。
公式一：
其中，x’表示X中的第一個列向量。即循環矩陣與一列向量相乘，等于此循環矩陣的第一個列向量與被乘列向量的卷積。
公式二：
其中，F表示傅裡葉變換系數矩陣，FH是F的共轭轉置矩陣。
證明：
對于公式一，我們直接展開對應相乘就可以得到了。
不過得注意，這是循環卷積，是以[x1,x4,x3,x2]反绉後就變成了[x1,x2,x3,x4]。
對于公式二，我們首先觀察一下Fdiag(x^):
容易發現，上式的第一行是f(x)的傅裡葉變換，第二行是f(x-1)（右移一位）的傅裡葉變換，以此類推。而上式的每一行乘以FH後将得到其原函數（相當于傅裡葉逆變換）。是以我們有：