51nod 1192 Gcd表中的質數

有一個M * N的表格，行與列分别是1 - M和1 - N，格子中間寫着行與列的最大公約數Gcd(i, j)(1 <= i <= M, 1 <= j <= N)。

例如：M = 5, n = 4。

1 2 3 4 5

1 1 1 1 1 1

2 1 2 1 2 1

3 1 1 3 1 1

4 1 2 1 4 1

給出M和N，求這張表中有多少個質數。

Input

第1行：一個數T，表示後面用作輸入測試的數的數量。（1 <= T <= 1000)

第2 - T + 1行：每行2個數M,N，中間用空格分隔，表示表格的寬和高。(1 <= M, N <= 5 * 10^6)

Output

共T行，每行1個數，表示表格中質數的數量。

Input示例

2

10 10

100 100

Output示例

30

2791

分析：

容易想到是枚舉質數p，然後推導公式。然而就是這麼做。

推導：

預設n<=m

[s]表示如果s為真，則表達是為1，[p]表示p為質數是為1，否則為0；

ANS(m,n)=∑p∑i=1⌊np⌋∑j=1⌊mp⌋[(i,j)=1][p]=∑p∑i=1⌊np⌋∑j=1⌊mp⌋∑k=1μ(k)[k|i,k|j][p]=∑p∑k=1⌊np⌋∑i=1⌊nkp⌋∑j=1⌊mkp⌋μ(k)[p]=∑k=1n∑p=1⌊nk⌋⌊nkp⌋⌊mkp⌋μ(k)[p]=∑k=1n∑p|k⌊nk⌋⌊mk⌋μ(kp)[p]=∑k=1n⌊nk⌋⌊mk⌋∑p|kμ(kp)[p]=∑k=1n⌊nk⌋⌊mk⌋f(k)

f(k) 可以打表，分析一下 f 的一些性質：

令 k=∏si=1pkii

如 ki 中一個大于2或者有兩個大于1，那麼f(k)=0;

了解起來也比較直覺。接着就可以遞推。

/*************************************************************************
    > File Name: 1192.cpp
    > Author: kelvin
    > Mail: [email protected] 
    > Created Time: 2016年05月18日 星期三 10時49分45秒
 ************************************************************************/

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define REP(i,a,b)  for(int i=a;i<b;++i)
#define LL      long long
#define mset(a,b)   memset(a,b,sizeof a)
#define scan(n) scanf("%d",&n)
const int maxn = ;
const int mod = ;

int prime[maxn];
LL f[maxn];
int mu[maxn];
void getP()
{
    mu[]=;
    REP(i,,maxn){
        if(!prime[i]){
            prime[++prime[]]=i;
            mu[i]=-;   
            f[i]=;
        }
        for(int j=;j<=prime[] && (LL)prime[j]*i<maxn;++j){
            prime[i*prime[j]]=;
            if(i%prime[j])
            {
                f[i*prime[j]]=mu[i]-f[i];
                mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            }
            else{
                f[i*prime[j]]=mu[i];
                 break;
            }
        }
    }
    REP(i,,maxn)   f[i]+=f[i-];
}


LL getans(int n,int m)
{
    LL ret=;
    for(int d=,j;d<=n;d=j+){
        j=min(m/(m/d),n/(n/d));
        ret+=(LL)(n/d)*(m/d)*(f[j]-f[d-]);
    }
    return ret;
}

int main()
{
    getP();
    int t;
    scan(t);
    int m,n;
    while(t--){
        scanf("%d%d",&m,&n);
        if(n>m) swap(n,m);
        LL ans=getans(n,m);
        cout<<ans<<endl;
    }


    return ;
}