Codeforces Round #453 (Div. 1)解題報告（ABCD）

A.Hashing Trees

題目大意：給定數組a[i]，其中a[i]表示深度為i的節點有a[i]個，問是否存在兩個不同構的樹同時滿足這個條件。如果有，請輸出。

簡要題解：有很多種構造方案。我的做法是，第一次把所有深度為i的節點都向深度為i-1的第一個節點連邊。第二次，嘗試分出一個深度為i的節點向深度為i-1的第二個節點連邊。如果可以這樣生成兩棵樹，則有解。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define maxn 200010

using namespace std;

vector<int> v[maxn];
int a[maxn],f[maxn];
int n,h,cnt;
bool w=;

int main()
{
    scanf("%d",&h);
    for (int i=;i<=h;i++) scanf("%d",&a[i]);
    cnt=;v[].push_back();
    for (int i=;i<=h;i++)
    {
        if (w && a[i]!= && v[i-].size()>)
        {
            w=;v[i].push_back(++cnt);f[cnt]=v[i-][];
            for (int j=;j<a[i];j++) v[i].push_back(++cnt),f[cnt]=v[i-][];
        }
        else for (int j=;j<=a[i];j++) v[i].push_back(++cnt),f[cnt]=v[i-][];
    }
    if (w) puts("perfect");
    else
    {
        puts("ambiguous");
        printf("0");cnt=;
        for (int i=;i<=h;i++)
        {
            for (int j=;j<=a[i];j++) printf(" %d",cnt);
            cnt+=a[i];
        }
        printf("\n");
        printf("0");
        for (int i=;i<=h;i++)
        {
            for (int j=;j<v[i].size();j++) printf(" %d",f[v[i][j]]);
        }
        printf("\n");
    }
    return ;
}
           

B. GCD of Polynomials

題目大意：構造兩個度數不超過n的多項式，使他們求GCD時，調用GCD過程的次數恰好為n。要求每一項的系數為-1或0或1。

簡要題解：注意到，每調用一次GCD過程，多項式的次數都會減一。是以最後的答案多項式一定是n次和n-1次的。考慮用最初的x和1，遞推到n次。我使用的做法是，每次枚舉将高次多項式乘(x+(-1/0/1))，低次多項式乘-1/1，構造出新的高次多項式。最後構造出解。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<bitset>

using namespace std;

int da[]={-,-,,,,};
int db[]={,-,,-,,-};
int n,m; 
int a[][],b[][];
int c[];

bool solve(int x)
{
    if (x==n) return ;
    x++;    
    for (int k=;k<;k++)
    {
        a[x][]=da[k]*a[x-][]+db[k]*b[x-][];
        for (int i=;i<=x;i++) a[x][i]=a[x-][i-]+da[k]*a[x-][i]+db[k]*b[x-][i];
        bool w=;
        for (int i=;i<=x;i++) if (a[x][i]>= || a[x][i]<=-) {w=;break;}
        if (w) 
        {
            for (int i=;i<x;i++) b[x][i]=a[x-][i];
            if (solve(x)) return ;
        }
    }
    return ;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    a[][]=;b[][]=;
    if (solve())
    {
        printf("%d\n",n);
        for (int i=;i<=n;i++) printf("%d ",a[n][i]);printf("\n");
        printf("%d\n",n-);
        for (int i=;i<n;i++) printf("%d ",b[n][i]);printf("\n");
    }
    else puts("-1");
    return ;
}
           

C.Bipartite Segments

題目大意：給定一個無偶環的無向圖，m次詢問，每次詢問[l,r]中能取出多少個子區間[x,y]，滿足隻選擇[x,y]中的點和邊，不會形成奇環。

簡要題解：以每個位置i，都有一個最靠左的端點pre[i]，滿足[pre[i],i]的所有字尾都滿足不形成奇環。因為原圖沒有偶環，是以隻要形成環就不滿足條件，問題簡單了許多。pre[i]是單調遞增的，故可以用整體二分來求。對于每組詢問，隻需要維護一個字首和就可以解決。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define maxn 300010

using namespace std;

vector<int> v[maxn];
int f[maxn],pre[maxn],st[maxn];
bool vis[maxn];
long long sum1[maxn],sum2[maxn];
int n,m,T,top;

int find(int i) 
{
    if (f[i]==i) return i;
    if (!vis[i]) st[++top]=i,vis[i]=;
    return f[i]=find(f[i]);
}

void solve(int l,int r,int L,int R)
{
    if (l>r) return;
    if (L==R)
    {
        for (int i=l;i<=r;i++) pre[i]=L;
        return;
    }
    int mid=(L+R)>>;
    int ans=r+;
    bool w=;
    for (int i=mid;i<=r;i++)
    {
        int j=lower_bound(v[i].begin(),v[i].end(),mid)-v[i].begin();
        for (;j<v[i].size();j++)
        {
            int f1=find(v[i][j]),f2=find(i);
            if (f1!=f2) 
            {
                f[f1]=f2;
                if (!vis[f1]) st[++top]=f1,vis[f1]=;
            }
            else {w=;break;}
        }
        if (!w) {ans=i;break;}
    }
    while (top) f[st[top]]=st[top],vis[st[top]]=,top--;
    solve(l,ans-,L,mid);solve(ans,r,mid+,R);
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=;i<=m;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        v[max(x,y)].push_back(min(x,y));
    }
    for (int i=;i<=n;i++) sort(v[i].begin(),v[i].end());
    for (int i=;i<=n;i++) f[i]=i;
    solve(,n,,n);
    //for (int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",pre[i]);printf("\n");
    for (int i=;i<=n;i++) sum1[i]=sum1[i-]+i,sum2[i]=sum2[i-]+(i-pre[i]+);
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        int l,r;
        scanf("%d%d",&l,&r);
        long long ans=;
        int now=upper_bound(pre+l,pre+r+,l)-pre;
        //printf("%d\n",now);
        ans=sum1[now-]-sum1[l-]-l*(now-l)*(l-)+sum2[r]-sum2[now-];
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return ;
}
           

D.Weighting a Tree

題目大意：一個無向連通圖，每個點有-n到n的權值，構造一種方案，給每條邊指派，使每個點相鄰的邊的權值和等于這個點的權值。

簡要題解：如果這個圖是個二分圖，那麼無論如何指派，左右兩邊的和必然相等，則取原圖的一棵生成樹，隻使用樹邊來進行指派即可。如果原圖不是二分圖，我們可以找到一條連接配接同一部分的邊，那麼把這條邊的權值賦為兩部分差的一半即可。按照二分圖進行分類的方法，也是很厲害了。

<cstdlib>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define maxn 100010

using namespace std;

int head[maxn],nxt[maxn*],to[maxn*],fa[maxn],fr[maxn];
int dep[maxn];
long long ans[maxn],w[maxn];
int n,m,num,e;
long long sum[];

void addedge(int x,int y) 
{
    num++;to[num]=y;nxt[num]=head[x];head[x]=num;
}

void dfs(int x)
{
    sum[dep[x]&]+=w[x];
    for (int p=head[x];p;p=nxt[p])
      if (to[p]!=fa[x])
      {
        if (!dep[to[p]]) dep[to[p]]=dep[x]+,fa[to[p]]=x,fr[to[p]]=p,dfs(to[p]);
        else if ((dep[x]-dep[to[p]]+)&) e=p;
      }
}

void solve(int x)
{
    for (int p=head[x];p;p=nxt[p])
      if (fa[to[p]]==x) solve(to[p]),w[x]-=ans[p/];
    ans[fr[x]/]=w[x];w[x]-=ans[fr[x]/];
}

int main()
{
    num=;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=;i<=n;i++) scanf("%I64d",&w[i]);
    for (int i=;i<=m;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        addedge(x,y);addedge(y,x);
    }
    dep[]=;dfs();
    if ((sum[]-sum[])&) {puts("NO");return ;}
    if (!e && sum[]!=sum[]) {puts("NO");return ;}
    if (e && sum[]!=sum[])
    {
        if (dep[to[e]]&) ans[e/]=(sum[]-sum[])/,sum[]=sum[];
        else ans[e/]=(sum[]-sum[])/,sum[]=sum[];
        w[to[e]]-=ans[e/];
        w[to[e^]]-=ans[e/];
    }
    solve();
    puts("YES");
    for (int i=;i<=m;i++) printf("%I64d\n",ans[i]);
    return ;
}