最短路(hdu2544)
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1.Problem Description:
在每年的校賽裡,所有進入決賽的同學都會獲得一件很漂亮的t-shirt。但是每當我們的從業人員把上百件的衣服從商店運回到賽場的時候,卻是非常累的!是以現在他們想要尋找最短的從商店到賽場的路線,你可以幫助他們嗎?
Input:輸入包括多組資料。每組資料第一行是兩個整數N、M(N<=100,M<=10000),N表示成都的大街上有幾個路口,标号為1的路口是商店所在地,标号為N的路口是賽場所在地,M則表示在成都有幾條路。N=M=0表示輸入結束。接下來M行,每行包括3個整數A,B,C(1<=A,B<=N,1<=C<=1000),表示在路口A與路口B之間有一條路,我們的從業人員需要C分鐘的時間走過這條路。
輸入保證至少存在1條商店到賽場的路線。
Output:對于每組輸入,輸出一行,表示從業人員從商店走到賽場的最短時間
Sample Input
2 1
1 2 3
3 3
1 2 5
2 3 5
3 1 2
0 0
Sample Output
3
2
2.基本思路
這道題由于隻有100個城市,是以不采用任何優化,隻采用最簡單的Dijkstra便能通過。但為了能夠了解Dijkstra的主要優化方法我們以該題為例在該題的基礎上不斷地進行優化,最終達到終極版本,當你掌握了終極版本的Dijkstra算法之後,你将對Dijkstra問題無所畏懼。
3.代碼實作
3.1 v e r s i o n − 1 version-1 version−1 裸Dijkstra算法【采用鄰接連結清單和鄰接矩陣進行存取均可,當圖較為稀疏的時候采用鄰接連結清單效率更高,但圖較為稠密的時候采用鄰接矩陣的效率更高,但一般情況下鄰接連結清單的效率均更優】
#include <iostream>
#include <climits>
#include <vector>
#define N 101
using namespace std;
int dis[N];
int vis[N];
struct Next{
int city;
int time;
Next(int _city,int _time){
city = _city;
time = _time;
}
};
vector<Next> Vec[N];
int main()
{
int n,m;
int A,B,C;
while(cin>>n>>m){
if(n==0&&m==0)
break;
//init
for(int i=1;i<=n;i++)
dis[i]=-1,vis[i]=-1,Vec[i].clear();
for(int i=0;i<m;i++){
cin>>A>>B>>C;
Vec[A].push_back(Next(B,C));
Vec[B].push_back(Next(A,C));
}
int newP = 1;
dis[newP] = 0;
vis[newP] = 0;
//dijkstra
for(int i=0;i<n-1;i++){
for(int j=0;j<Vec[newP].size();j++){
int city = Vec[newP][j].city;
int time = Vec[newP][j].time;
if(vis[city]==0)
continue;
if(dis[city]==-1||dis[city]>dis[newP]+time){
dis[city] = dis[newP]+time;
}
}
int Min = INT_MAX;
for(int j=1;j<=n;j++){
if(vis[j]!=0){
if(~dis[j]){
if(dis[j]<Min){
Min=dis[j];
newP = j;
}
}
}
}
vis[newP] = 0;
}
cout<<dis[n]<<endl;
}
return 0;
}
首先送出一發,好了,這就是我們優化的起點
3.2 v e r s i o n − 2 version-2 version−2 仔細想想,其實Dis[…]的更新并不一定是按順序的,是以我們隻需要在dis[N]更新完之後便可以得到最終個正确答案了。
#include <iostream>
#include <climits>
#include <vector>
#define N 101
using namespace std;
int dis[N];
int vis[N];
struct Next{
int city;
int time;
Next(int _city,int _time){
city = _city;
time = _time;
}
};
vector<Next> Vec[N];
int main()
{
int n,m;
int A,B,C;
while(cin>>n>>m){
if(n==0&&m==0)
break;
//init
for(int i=1;i<=n;i++)
dis[i]=-1,vis[i]=-1,Vec[i].clear();
for(int i=0;i<m;i++){
cin>>A>>B>>C;
Vec[A].push_back(Next(B,C));
Vec[B].push_back(Next(A,C));
}
int newP = 1;
dis[newP] = 0;
vis[newP] = 0;
//dijkstra
for(int i=0;i<n-1;i++){
for(int j=0;j<Vec[newP].size();j++){
int city = Vec[newP][j].city;
int time = Vec[newP][j].time;
if(vis[city]==0)
continue;
if(dis[city]==-1||dis[city]>dis[newP]+time){
dis[city] = dis[newP]+time;
}
}
int Min = INT_MAX;
for(int j=1;j<=n;j++){
if(vis[j]!=0){
if(~dis[j]){
if(dis[j]<Min){
Min=dis[j];
newP = j;
}
}
}
}
vis[newP] = 0;
if(newP==n)break;
}
cout<<dis[n]<<endl;
}
return 0;
}
再送出一發!!
咦,好像沒什麼變化,估計是測試用例中特殊資料樣例比較少,别急,後面還有大招呢,我們繼續優化。
3.3 v e r s i o n − 3 version-3 version−3 是時候分析一下上面算法的時間複雜度了,一看過去兩層 f o r for for循環特别醒目,是以該算法的平均時間複雜度為 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。我們來分析一下兩層 f o r for for循環,第一層指的是最多一共需要選擇除了起始點外的 n − 1 n-1 n−1個結點,是以這一層循環是至少需要的,不可簡化的,而第二層循環的目的呢,主要是為了取出目前 d i s [ . . . ] dis[...] dis[...]數組中沒有被通路過的城市中對應最小 d i s [ i ] dis[i] dis[i]的城市 i i i,是以其是一個求解最小值的過程,這裡我們就可以考慮采用小頂堆進行優化,這樣每次求最小值的時候,我們隻需要取出堆頂的元素即可。分析算法可知,堆中元素最多可以到達 M M M個,也就是邊的數量。是以該算法的時間複雜度為 O ( N l o g M ) O(NlogM) O(NlogM)
下面放出優化之後的代碼:
#include <iostream>
#include <climits>
#include <vector>
#include <queue>
#define N 101
using namespace std;
int dis[N];
int vis[N];
struct Node{
int id;
int cost;
Node(int _id,int _cost){
id = _id;
cost = _cost;
}
operator < (const Node& ano)const{
return cost > ano.cost;
}
};
priority_queue<Node> Que;
struct Next{
int city;
int time;
Next(int _city,int _time){
city = _city;
time = _time;
}
};
vector<Next> Vec[N];
int main()
{
int n,m;
int A,B,C;
while(cin>>n>>m){
if(n==0&&m==0)
break;
while(!Que.empty())
Que.pop();
//init
for(int i=1;i<=n;i++)
dis[i]=-1,vis[i]=-1,Vec[i].clear();
for(int i=0;i<m;i++){
cin>>A>>B>>C;
Vec[A].push_back(Next(B,C));
Vec[B].push_back(Next(A,C));
}
int newP = 1;
dis[newP] = 0;
vis[newP] = 0;
//dijkstra
for(int i=0;i<n-1;i++){
for(int j=0;j<Vec[newP].size();j++){
int city = Vec[newP][j].city;
int time = Vec[newP][j].time;
if(vis[city]==0)
continue;
if(dis[city]==-1||dis[city]>dis[newP]+time){
dis[city] = dis[newP]+time;
Que.push(Node(city,dis[city]));
}
}
while(!Que.empty()){
if(vis[Que.top().id]!=-1){
Que.pop();
continue;
}
newP = Que.top().id;
Que.pop();
break;
}
vis[newP] = 0;
if(newP==n)break;
}
cout<<dis[n]<<endl;
}
return 0;
}
3.4 v e r s i o n − 4 version-4 version−4 到這裡應該已經能過絕大部分的題目了,但仔細想想還有沒有優化的空間呢?有的,因為我們采用了vector來作為鄰接連結清單存儲圖的結構,而vector是STL封裝的進階資料結構,是以通路時間一般比簡單的整數數組來的慢,是以這裡可以采用鍊式前向星來存取整圖的結構,對于卡常的代碼還是值得嘗試采用該種方法來試一試。先貼出代碼和運作結果:
#include <iostream>
#include <climits>
#include <vector>
#include <queue>
#include <memory.h>
#define N 101
#define M 10001
using namespace std;
struct Node{
int id;
int cost;
Node(int _id,int _cost){
id = _id;
cost = _cost;
}
operator < (const Node& ano)const{
return cost > ano.cost;
}
};
struct Edge{
int next;//下條同起點的邊的編号
int to;//該邊的終止點的編号
int w;//該邊所具有的權重
}edge[M];
priority_queue<Node> Que;
int dis[N];
int vis[N];
int head[N];
int tot;
void init() {
tot = 0;
memset(head, -1, sizeof(head));
}
void add_Edge(int u,int v,int w){
edge[tot].to=v;
edge[tot].w=w;
edge[tot].next=head[u];
head[u]=tot++;
}
int main()
{
int n,m;
int A,B,C;
while(cin>>n>>m){
//init
init();
for(int i=1;i<=n;i++)
vis[i]=0,dis[i]=0x3f3f3f3f;
if(n==0&&m==0)
break;
while(!Que.empty())
Que.pop();
for(int i=0;i<m;i++){
cin>>A>>B>>C;
add_Edge(A,B,C);
add_Edge(B,A,C);
}
int newP = 1;
dis[newP] = 0;
vis[newP] = 1;
//dijkstra
for(int i=0;i<n-1;i++){
for(int j=head[newP];~j;j=edge[j].next){
int city = edge[j].to;
int time = edge[j].w;
if(vis[city]!=1&&dis[city]>dis[newP]+time){
dis[city] = dis[newP]+time;
Que.push(Node(city,dis[city]));
}
}
while(!Que.empty()){
if(vis[Que.top().id]!=0){
Que.pop();
continue;
}
newP = Que.top().id;
Que.pop();
break;
}
vis[newP] = 1;
if(newP==n)break;
}
cout<<dis[n]<<endl;
}
return 0;
}
最終運作的時間沒有多大的變化,主要還是該問題的資料規模比較小,但規模比較大的時候效果就比較明顯了。
關于前向星有以下兩篇文章值得參考:
https://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/16902023
https://blog.csdn.net/lookqaq/article/details/81304637
最後為了證明優化的意義,不凡請各位看官移步hdu3790親自感受一下優化的魅力之所在。
以下是我最終AC的代碼:https://paste.ubuntu.com/p/gtW7ypFhRG/
4.Summary:
最後讓我們一起來總結一下,這篇文章的優化過程,首先我們采用了裸Dijkstra的代碼直接跑通,随後觀察到可以判斷終點的更新來提前終止算法,接下來我們分析了前面算法的時間複雜度,采用小頂堆來選取最小距離的結點将複雜度從 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)直接降到了 O ( N l o g M ) O(NlogM) O(NlogM)。最後,我們考慮采用鍊式前向星來優化圖的存儲,相比于Vector資料結構存儲圖,其通路圖中邊的效率得到了提高,以上。