機率複習 第一章 基本概念

本文用于複習機率論的相關知識點，因為好久不接觸了，忘了不少。這裡撿起來，友善學習其他知識。

總目錄

機率複習 第一章 基本概念

機率複習 第二章 随機變量及其分布

本章目錄

事件的運算

交換律

結合律

配置設定率

摩根定律

機率含義及性質

可列可加性：

有限可加性：

差事件的機率

逆事件的機率

機率的加法公式

條件機率

條件機率的計算

條件機率的可列可加性：

條件機率的加法公式：

乘法定理

全機率公式

貝葉斯公式

獨立性

事件互相獨立

事件獨立的定理

事件的運算

交換律

結合律

配置設定率

摩根定律

機率含義及性質

機率記為P，性質如下：

s是一個必然事件：

可列可加性：

互不相容的事件A1,A2...有：

有限可加性：

互不相容的事件A1,A2...An有：

差事件的機率

若

，則

逆事件的機率

機率的加法公式

可以推廣到多個事件的情況，如下：

條件機率

條件機率的計算

P(B|A) 表示在A空間中（A條件下），滿足事件B的部分，所占的比例

條件機率的可列可加性：

互不相容的事件B1,B2...有：

條件機率的加法公式：

任意事件B1 B2，在條件A下，有：

乘法定理

由條件機率公式，可以有：

當

，有：

全機率公式

如右邊這個視訊，講解得很詳細了：全機率公式考研視訊講解

互不相容的事件B1 B2 ... Bn構成一個樣本空間S的劃分（樣本空間S的完備事件集，也就是B1 B2 ... 充滿了樣本空間），

若A是S中的一個事件，則：

也就是A和所有B事件的交集加起來。上面是全機率公式的一種形式。

很好了解，全就是某個事件在一整個劃分上，相交的部分，的總和。

根據乘法公式，可以将全機率公式改為如下變型：

貝葉斯公式

推導過程，也可以參考上面說的這個視訊：全機率公式考研視訊講解

貝葉斯公式，是一個條件機率，指在條件A下，一個劃分中的某個事件Bi的機率：

由條件機率公式展開有：

由于

是以，貝葉斯公式為：

很神奇，它表示在A條件下，事件Bi的機率，可以轉換為，求：

• 在劃分事件B1或B2或...或Bi...或Bn條件下，A事件的機率，即：P(A|B_1),...P(A|B_i),...P(A|B_n),
• 劃分（完備事件集）事件B1 B2 ... Bi ... Bn的機率，即P(B_1),...P(B_i),...P(B_n),

然後把上面求得的機率，組合起來：

• 分子是Bi條件下A的機率乘以Bi的機率
• 分母是A對于劃分B的全機率

這樣就構成了貝葉斯公式了。

實際計算時，可能會用到很多變型，因為涉及到各種變換。是以需要具體情況具體分析。

但記住，貝葉斯公式，本質就是一個條件機率。隻是把它轉換成其他計算方式而已。

獨立性

事件互相獨立

如果A和B滿足：

則A和B獨立

事件獨立的定理

定理一：

當P(A)>0，若A和B獨立，則

反之亦然。

對于多個事件，它們的n個組合都獨立，說明這堆事件互相獨立。

定理二：

若A和B獨立，則它們的逆事件的組合也獨立，包括如下組合：

對于n個獨立事件，它們逆事件的任意組合，也是獨立的。