高等數學-微積分

高數微積分

宋浩

奇函數和偶函數：

判斷奇函數和偶函數兩點
1、x的定義域關于原點對稱，是奇函數。關于y軸對稱是偶函數。
2、通過這個規則判斷。
           

單調增和減函數：

函數有界 上屆和下界：

反函數:

圖像：反函數和原函數關于y=x對稱

原來的定義域在反函數變成值域，原來的值域在反函數變成定義域
隻有原函數必須是一 一對應才會存在反函數。
           

1.4 數列極限：

研究數列的極限，是以數列都是無窮項的，簡稱｛n｝

極限： 随着分子分母越來越大，分子分母呀越來越相等 整個式子的值就越接近1

等比數列求和公式：

a1[1-(q)^n]/1-q
           

極限概念：

存在鄰域為0.1，存在任意一項 N（等11項），那麼後面的項n（ｎ是Ｎ後面的項，是以ｎ＞Ｎ），n＞Ｎ時，後面的值越來越趨于１

極限定義

證明極限

子數列：

在原數列中抽出幾個元素，保證抽取原數列元素順序不變，這就是子數列。
           

極限的性質：

1、｛Xn｝集合是收斂的，極限唯一。
2、｛Xn｝集合是收斂的，則有界。(側重于收斂)
           

3、一個數列Xn有極限并且趨于a，存在N，當n>N時，Xn>0.

4、｛Xn｝集合收斂于a，任何子數列也收斂于a

推論1：一個極限能找到一個子數列不收斂，則原數列不收斂(發散)。 推論2：找到兩個子數列，雖然都收斂，但是極限不同，則原數列不收斂(發散)。

推論3：原數列<=>奇數項，和偶數項構成的子數列都收斂且極限相同，則原數列收斂。

逆命題：找到一個數列的子數列是收斂，則原數列不一定收斂。

1.5函數極限

函數極限的定義：

1、當x趨于正無窮時,a是f(x)函數的極限
           

證明題：

2、當x趨于負無窮時,a是f(x)函數的極限
           

3、當x趨于無窮時,a是f(x)函數的極限
           

4、x趨于有限數,但是取不到有限數，是以是去心的。
           

例：

5、左極限和右極限
           

不指明左還是右，那麼就是左右極限都存在： 極限存在那麼左右極限都存在，并且極限相等。

證明極限不存在：

1、左極限或右極限有一個不存在，那麼原來的極限就不存在。

2、左右極限值不相等，那麼原來的極限不存在。

例：

函數極限性質：

這幾個性質 重要性低

性質4、

一個函數趨于極限a，那麼函數的所有點都可以極限a。如果把函數任意抽取成數列，那麼需要取整數，因為數列是不連續的。
           

推理： 重要性一般

如何證明一個函數的極限不存在

1.6 無窮小和無窮大

無窮小

注重變化的過程 x趨于0還是正無窮

朝0逼近的數就是無窮小的
           

定理1：

有界的數就是一個确定的數：
           

例：

一般三角函數都是有界的

解題過程： 三角sinx函數在0到1之間.前面x是趨于0。是以sin1/x的極限是0

定理2：了解

無窮大

定理3：

極限的四則運算

前提。
1、兩個極限都存在 
2、有限項極限運算
           

求極限 常數或者與x無關的變量可以提出來
           

求一個函數n次幂的極限，等于先求函數的極限再求出n次幂
           

例：

這種情況直接帶數

極限的多項式運算：

無窮比無窮（重要）趨于無窮之比

多項式分數形式求解：注意是在無窮比無窮時，分子分母同時比上x最高次數項 。分子分母同次是系數之比，分母次數高就是0， 分子高就是無窮。

例

例

例

例

直接帶數是0/0沒法算出，那麼就需要約掉多項式

例

例

例

求k的值？

0/0型的極限才會出現常數

1.8 極限存在的準則，兩個重要極限

夾逼定理：(了解)

定理：（了解）

單調有界必有極限

1.8.1兩個重要極限：（重要）

前提：x趨于0

樣式

這種變形的極限也是趨于0

例

求極限？

分母配上一個阿拉法，那麼分母除于一個，前面再乘回來

x趨于0，那麼阿拉法乘于x也是趨于0，是以極限時阿拉法

例2:

n乘于sin2/n,就等于 “sin2/n” / “1/n”, 但是分母需要湊成2/n,是以再乘回來2

n趨于無窮，是以2/n趨于0.最終極限是2

例：

把它當作一個定義：

極限也是1

例：

另一個重要極限：

公式的另一種變形：裡面和外面是成倒數

例：

例：

例：

例：

如下圖所示的圈起來的(分母)，當x趨于無窮時，利用多項式比多項式最高次數之比是1，就可以去掉。

例

把1/x看成是誰的平方，那麼原式就是1/根号x。

1.9 無窮大和無窮小比較

階級無窮小：

兩個極限相比，比值為0，那麼分子趨于零的速度更快，是分母的高階無窮小

兩個極限相比，比值為無窮，那麼分子要大于分母，是分母的低階無窮小

等價無窮小替換(重要) 趨于0之比

使用的前提：

分子和分母都趨于0時 （也就是無窮小）。

如果多個式子組合時替換，适用于乘除。

如果是減去一個式子那麼這個式子不能用等價無窮小替換，乘除是可以的。

前提兩個函數相比值為1

以下結論可以直接用 記住

利用等價無窮小替換類型的題

前提：

例

用等價無窮小替換，首先分子和分母都是無窮小

例：

1.10函數的連續（一）

兩個改變量：x的增量和y的增量

連續：它的圖像是連着的

連續的定義：

式子變形 在Xo處有定義

連續的條件， 重要

連續的左右極限相等都等于函數值
           

左連續 ：

Xo是點2，那麼是在2點的左側向2逼近。

如果函數不連續那麼就是斷開的

間斷點四類：

不連續則間斷。

把這個點去掉

連續與間斷的例子

已知x>0,在x=1時，問是不是連續，如果不是那麼是第幾類間斷點。

1.10函數的連續（二）

兩個連續的函數 運算也是連續的

例

問ab是什麼值，已知在定義域内一定是連續的。

注意：連續的左右極限相等都等于函數值

重要 求x分别在1和0除的極限，就可求出a和b的值

選擇或者填空題 一般

例

重要

例

例4中，ln1就是0，e的0次方才是1。該題是0比0型，後面直接用洛必達即可。

例

lne就是1

結論：函數在一個閉區間上，那麼具有以下性質。

推論：重要

零點存在定理

也就是說函數過零點那麼y值一定會在上下兩側。

2.1 導數

求導需要存在極限

分别研究x改變量和y的改變量變化的快慢

如圖兩個函數 x改變量比上y的改變量是不相等的

了解用導數的例子：變速運動的瞬時速度、曲線上求一點的切線以及最大值最小值。

導數的定義：

f(x)的改變量比上x的改變量

做題用到這個表達式
           

簡寫公式：

導數的四種符号

四種方式可能都會出題

導數的幾何含義：

當x改變量越來越趨于零時，切線就越傾斜。

也就是x趨于0，求函數的切線斜率，也就是導數。

了解：

導數公式

背結論 ：考試直接用 重要 求導法則

導數的意義：

導數方程

曲線的切線方程和法線方程的求法

導數定義：x改變量趨于0， y改變量比上x改變量的極限存在。

例

求這個函數在(1, 1)處的切線和法線方程

重要

2.2.1 通過左右導數證明導數存在

可導的充要條件是左、右極限存在且相等

例

問是否可導？

2.1.5 可導和連續的關系

可導必然連續。但連續不一定可導

函數圖像想要可導 那麼必須光滑的。連續的幾何含義是一筆畫成。因為光滑就一定是一筆畫的，是以光滑比一筆畫強。

例

求該函數的導數

在這0點是連續，但是不可導

2.2 求導法則 重要

重要

前提是 這兩個函數在x=0，可導。

例

相乘求導

如果有一個c是常數 常數(系數)求導是零

例

相除求導

例

2.2.1 反函數的求導法則

反函數的導數等于這點原函數導數的倒數

例：

2.2.2 複合函數求導 重要

與兩個式子相乘求導的差別：相乘求導是每個式子都有x變量，

使用複合式函數求導的情況是一個x變量,被多層式子套住，套娃。

剝洋蔥法則

核心是看x的包含關系，是否被包在最裡層，如果兩個x那麼需要看兩個x都被包住的函數。

例：

最外層是lnsinx，裡層是sinx。然後帶入公式逐個求導再相乘。

例：思路 誰的5次方是最外層求導，誰是裡層(1+2x+3x^2)求導，再相乘

最裡層兩個x的式子，不涉及套娃，不用複合函數求導。

例

外層是x/2乘根号，第二層是根号裡的 a^2 - x^2

先用這個公式：

這裡注意a是常數，那麼a方求導就是0。并且方框裡是複合函數的求導(洋蔥法則)

注意最裡層是 -x^2

例

最外層“ln誰”，再往裡層“sin誰”，同理再往裡“cos誰“，最裡層”誰的平方“。

例：

2.4 高階導數

一個函數的求導後，對求導後的式子再求導。

例

求該式子三階導數

重要

2.5 微分（一）

算y改變量時，需要用y改變之後減去改變之前的值，如果直接帶數不好算，是以需要用微分

Xo為邊長的正方形，邊上增加x，那麼整個正方形的面機就和如下式子。計算它增加的面機就是現在的面機減去原來的面機，當x的長度趨于0時，那麼右上角的小三角形的面積可以忽略不計。
           

注意：Xo是固定的

定義：

函數可微就可導，可導也可微，并且A是導數

重要

微分公式：重要

導數乘以dx也就是微分公式

例

幾何意義：

y的改變量近似等于，x的改變量乘以該點的斜率，(也就是dy），
           

Xo是确定的

微分四則運算

和導數四則運算一樣 一起背
           

例

求微分

另種解法

例

例

例

重要

例

例

隐式函數，無法用y=x的方式表示，解題思路。

解2

實際應用：近似計算公式

例：

近似計算八個公式

由這個式子推到下面8個公式：

3.1 微分中值定理

費馬引理：駐點，以下三種都是駐點

費馬引理了解：Xo是常數，任意取一個x都是小于Xo的是以它是最大值，即駐點，導數為0的點。
           

羅爾定理：

如圖最上面點的切線是水準的，也就是說導數為0，駐點。

符号：可賽

拉格朗日中值定理：

y的變化量等于x的變化量乘以”可賽一點“的導數(斜率)
           

如圖，一定能找到一個點的斜率等于 ab兩個點連線的斜率。

柯西中值定理：

兩個函數y的改變量之比等于兩個函數中”可賽一點“導數之比。
           

中值定理（二）泰勒定理 太複雜 不用學會

Xo變成0就是另一個公式：

3.2 洛必達法則 重要

洛必達法則滿足條件可以多次求導，每步隻有是0/0或無窮比無窮的情況下才能用洛必達法則。
           

解決求極限問題，解決這兩種

1、0/0型。兩個函數都趨于0，求兩個函數相比的極限，就等于兩個函數求導相比的極限。

洛必達法則需要多次應用，也就是多次求導

例

2、無窮/無窮 本質一樣和0/0

總結：

sinx使用等價無窮小隻有乘除可以用

不能用洛必達的例子：

如下幾種多項式的形式都可以轉成0/0，和無窮/無窮。可以使用洛必達

3.3 函數的單調性和凹凸性

在一個區間 如果求導大于零或個别點等于零，那麼就是增函數

需要先看定義域，如例2

駐點：是一階導數等于0的點

導數不存在也就是定義域沒有定義。

找分界點

凸凹性

通過圖像判斷

定義：曲線和直線的中點哪個高

通過導數判斷：

凹函數的二階導數大于0，反之

拐點的兩側二階導數不同号（凸凹性改變）

例

例：重要 拐點

3.4 極值與最值

極值是在鄰域裡，是以是局部的。 最值整體的概念

左導數大于零，右小于零是極大值。反之極小

定理：

一階導數等于0是駐點

選擇題：

定理：判斷極值點

求極值思路：

例

定理 了解

最值：

找最值在這三個點找即可

3.5 函數作圖

x是變量
x -> ∞,水準漸近線函數是趨于x軸，極限值是常數
x -> 0,垂直漸近線函數是趨于y軸，極限值是∞。特征：找分母為零時的點為分界線求。
x -> ∞,斜漸近線函數是趨于一條直線
           

例：x趨于無窮，0是該函數的水準漸近線

記住以下兩個公式

f(x)接近a1x + b1,那麼f(x) - (a1x + b1)趨于0.則f(x) - a1x - b1趨于0，f(x) - a1x趨于b1。
           

斜漸近線以下兩種公式，目的求出a1和b1的值，然後得到直線方程。第一步用1)先求a1，再把a1帶入 2) 方程中求b1

例：求漸近線

求垂直漸近線時，令分母為0求。

函數作圖的步驟

看第三步和第四步即可。

例：重要

例：

1、需要給y求極限，有極限（不是無窮）那麼就有水準漸近線。

2、定義域有間斷點，間斷點的導數是否為無窮大，如果是，那麼就有垂直漸近線。

4.1 不定積分

原函數與不定積分的概念及其關系

積分解決的問題：根據導函數求出原函數，也就是求積分

了解：

給了導函數求出原函數是什麼（求爸爸）。 之前我們都是根據一個函數求導（求兒子），現在利用積分反過來求

定義：

求積分步驟，已知導函數求原函數。導函數的基礎上變化規則。x變成：”x的指數加1“，x前面的系數變成：”指數加1後的倒數“。

當結論記住

幾何含義：

不定積分性質：

原函數求導–>求兒子

導函數利用積分–>找爸爸

”我“永遠是f(x)

積分基本公式：重要

重要的如圖所示

例

4.2 積分法

不定積分第一換元法

第一換元積分法：重要。也叫湊微分，把d前面的導函數湊成d裡面原函數。

例

例

d裡面相乘的系數可以寫在d裡面和外面都可以
積分符号中相乘的系數可以拿到積分符号外。
d裡面的乘以一個系數，可以通過在積分符号外面再配系數，使原式子值不變。
           

湊負号

加一個1

這樣相當于(1-x^2)的二分之一次幂，求原函數。

例

例

例

這是一個公式記住結果。

當作結論記住，了解。

當成結論記住。三角函數的求積分，如果是奇數次的 就變成偶數乘奇數形式，如果是奇數就用被角公式。

這裡注意(1-cosx)中的1是不能提出去的 隻有常數是乘除才能提。

積化和差公式是初等數學三角函數部分

以上例題的總結題型：

第二換元積分法

主要的特點是帶根号的式子

公式：

分步積分法 重要

優先級

x和sinx，那麼把sinx拿到d的後面
 x和e^x ，e^x 往裡拿
 x^2和e^x ，e^x 往裡拿
 x和lnx ，x 往裡拿
           

積分式中d的前後相乘減去d前後換位就等于原式。一般分步之後d裡面的再拿出來。

選擇簡單的方式，否則越來越複雜。這個例題可知 如果有x和sinx，那麼把sinx拿到d的後面

x和e^x ，

e^x 往裡拿

x和lnx ，

x 往裡拿

這個例子當公式記住就行

例

再用一下分步積分

例

4.3 有理函數積分

有理數積分函數都是把前兩種化成第三種，然後用方法做。分子低分母高也叫做真分式

真分式做法

第１類題目：分子是１，分母是二次函數

ｂ＾２－４ａｃ　＝０

待定系數法

ｂ＾２－４ａｃ＞０

Ａｘ和Ｂｘ應該消掉，是以系數相加等于１

ｂ＾２－４ａｃ＜０沒有實根，需要先配方

令ｘ＋１＝ｔ

以上三種解題方法固定

第二類題目：分子是一次，分母是二次

ｂ＾２－４ａｃ＝０

ｂ＾２－４ａｃ＞０

ｂ＾２－４ａｃ＜０

複雜類型

第一類

如下這幾種是第一類，那麼分子假設是常數

第二類：分子假設是一次的

5.1 定積分

定積分有上下限

”sei可ma“求和

定義：

注意：

什麼情況是可積的 了解 有限個間斷點不能少 否則錯誤

了解

矩形法

梯形法：

上底加下底乘高除以2

定積分的基本性質：重要

面積就等于b-a的值，因為長方形另一個邊的長度是1.

推理：

微積分基本定理

積分變限函數求導，x是變動的，那麼面積會随着x的變化而變化。

積分上限函數 上限定積分求導的方法

上限是變化的

重要結論：p’(x)=f(x)

第一種：上限是x（下限是常數），求導，直接往裡帶入x即可

積分下限函數

第二種：下限是x求導（上限是常數），直接往裡帶入x，加一個負号

積分上限是複合函數

第三種：上限是x的函數，複合函數

第一步上限函數x的函數直接帶進去，第二步x的函數對x求導，再相乘

定理

第五種，總結以上四種 重要：

總公式：先把上限帶入再乘以上限求導，把下限帶入再乘以求導，相減。

例

x趨于0，

也是趨于0，0到0區間求定積分也是0.。是以這是一個0/0型。用洛必達

例：分析三個變量

分子和分母都是趨于0。

思路：設中間的式子為sinu，因為裡面的的求定積分是u的函數

解題：

現在上限是x，求上限x的積分直接帶入中間式子中（是u的函數），u的地方變成x

牛頓-萊布尼茨公式

前言：不定積分是原函數的全體，定積分是圖形的面積。這個公式把這兩個連系起來，左邊是定積分右邊不定積分。

思路：先求原函數，再把上限和下限帶到原函數相減，求積分

例：

先求原函數

例

例

定積分的換元積分法

原理：

上下限範圍需要根據換原後的變量做調整

換元時上下限也一起換

例：換元求積分

例：

這個題結果直接記住就行

重要：必須是-a到a有限，如-1到1

性質

例：重要 結果沒寫

-1到1關于遠點對稱

例：n是正整數 證明

例：考研的題目類型。x是積分内部是常量，在整個式子中是變量。t和u都是變量

定積分的分步積分法

例

答案：5ln5 - 4

例

答案：

使用分步積分法的思路：誰求原函數往d的裡面拿(重要)

優先級

例

定積分應用

直角坐标系下用定積分計算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐标軸旋
           

轉所生成旋轉體的體積。

求面積 一定會考 重要

圖像的邊界垂直于哪個軸就是哪種圖像

例

x型

步驟 重要

拿尺子垂直于x軸從左邊向右邊，看上邊的函數是不是一直在上邊，下邊的是不是一直在下邊，如果變了就需要再寫一個定積分公式。

例

x型

圖像關于y軸對稱，是一個偶函數，那麼求y軸一側的圖像乘以2即可。
           

因為左右對稱，是兩倍的面積

例

y型

尺子垂直于y軸從下而上，看左邊函數是否一直在左邊，右邊函數也同理。如果變了就需要再寫一個定積分公式。

函數表達式需要改成關于y的表達式

求體積

公式：

繞着x軸産生的物體

繞着y軸産生的物體

例

例

定積分-求經濟應用問題

貼現值

收益問題

離散型

連續型

例

廣義積分- 第一種無窮限積分

無窮限積分，分為上限、上限或下限是無窮和上下限都是無窮。如果極限存在就收斂，不存在就發散的
           

例 推理 了解

定義：廣義-牛頓-萊公式重要。以上的是推導，記住這個公式

可以直接把無窮帶進去，看極限存不存在。做題直接用
           

推導過程 了解

例

例

證明是不是發散

例

記住結果即可

性質

無窮限積分也能用這兩種方法

定理

例

證明該函數是收斂的。答案是收斂的。

性質

絕對收斂，條件收斂的定義。

可推出定理

解釋：取絕對值是收斂的（也就是取正的都是收斂的），那麼原函數中有正有負，會抵消一些，就會更加收斂。
           

廣義積分- 第二種，瑕積分

函數在某個位置沒有定義，如果把這個位置去掉就能求積分

第一種

第二種

前兩種是在兩邊端點沒有定義。第三種是在中間的點沒有定義

第三種

例

例

x=0時，分母為0.是以需要按瑕積分處理

先記住結果

例

x等于1時，分母為0沒有定義，是一個瑕積分

嘎瑪函數

如何判斷嘎瑪函數。

幾個特點：

1、0到正無窮。

2、e^-x。

3、x的幾次方。

判斷出嘎瑪函數就能用公式：
           

空間解析幾何

三維

記住公式：兩點确定一條直線 重要

平面方程 重要

球面方程

從給定點到r的所有點的集合

球心為原點時，球的方程邊變為

上半球面和下半球面

柱面

柱面不一定是圓的，也可能是不規則。

圓的面積和Z是沒有關系的。

旋轉抛物線

雙曲抛物面

多元函數基本概念

鄰域和内點或邊界點 了解

二進制函數：

自變量是x和y，因變量是z。

例

求定義域

二進制函數的極限與連續的定義

二進制函數的極限 重要

二進制函數的極限是以多種方式的點以任何方式向Xo,Yo逼近。

證明二進制函數極限不存在

思路找兩種逼近方式，如果兩種不同的方式求極限不一樣就不存在。

例

第一種方式沿着x軸逼近極限點的。第二種是沿着y=x一次函數。

例

第一種方式沿着x軸逼近極限點的。第二種是沿着y軸。

例

求二進制函數的極限

例

利用重要極限

例

趨于0乘以有界的，極限還是0

例

例

二進制函數的連續性

二進制函數連續的幾何意義是，一張紙不能有洞，不能撕開。如果把紙蹂躏成麻麻癞癞也是曲面，但是在某些點是不可導的，就涉及到偏導數。

偏導數

二進制函數一階偏導數和全微分的概念

偏導的定義：

一進制函數的求導是y變化量比上x變化量。二進制函數的求導叫偏導數。因為有兩個自變量，那麼就是z變化量比上x和y變化量，我會看成是其中某一個自變量(x或y)改變而引起z的改變，是以叫偏導數。

求偏導規則： 二進制函數的一階、二階偏導數的求法

對一個自變量求導，把另外一個變量當作常數(看成無關的)。

出題類型1：求在某點的偏導數，用偏導的定義做。

出題類型2：求在某點的偏導數，先求函數整體的偏導數，再把這點帶進去

出題類型3：求一個正常的偏導數，求對x，對y的偏導數。

例

類型3

類型2 求該函數在(1, 3)點的偏導數

例

該函數在(0,0)處的偏導數

注意：二進制函數中偏導存在不一定是連續的。

偏導的幾何意義

曲線

二進制函數的一階、二階偏導數的求法

二階偏導

二階混合偏導，如下圖求偏導一共有四種形式，中間兩個的形式叫做二階混合偏導數。

表示先對x求一次，再對y求一次。也就是二階偏導

全微分

二進制函數一階偏導數和全微分的概念

定義：

三元的求可微

定義中的A和B就對應對x求偏導和對y求偏導。

偏導存在隻是可微的必要條件不是充要條件

可微的充要條件

在定義域中有連續的偏導數

可微、可導、連續三者關系

二進制函數全微分的求法

例

求全微分

近似計算

公式推導

例

例

多元複合函數求導

1.學會畫圖，找線。

例

标準算法

直接簡單的式子直接帶入也可以

特例

z對x求導因為隻有一個變量是以不是偏導，求導即可

三元以上

什麼情況求導或求偏導

練習

例

例 有難度 了解

隐函數求導

定理及推導

表達式F(x,y)=0 (右邊需要等于0)，y是x的函數，我們要求y對x的導數

交叉對應

解決這類函數的求導。

例

二進制隐函數求導 了解

例

F是xyz的函數，并且z是xy（兩個）的隐函數，二進制隐函數

例

解1

注意：F是xyz的函數

解2

注意：這種方式xy是z的函數

二進制函數極值

極值

極值的必要條件及證明

極值的充分條件

在(Xo,Yo)鄰域内具有一階和二階的連續偏導數

B是對x和y分别求偏導，在(Xo,Yo)處的取值。

B^2 - AC < 0，有極值。A<0是極大，反之極小。

例

兩種解法

最值

實際問題用最值

例

無條件和條件極值

無條件極值就是上面例子中的求出偏導數，使偏導數等于0

條件極值的拉格朗日乘數法

拉格朗日乘數法

解決帶條件的極值問題

多條件時

例

例

例

結果

二重積分的定義和性質

概念 了解

幾何意義 了解

性質 了解

sei可馬符号是表示面積

二重積分中值定理 了解

二重積分的計算 （直角坐标系）

直角坐标系下的二重積分計算方法

重要

每一個橫切面都推到z和y形成的面，是以可以看作是對y求積分，把x當作常數。
           

對y求積分，把x當作常數求積分(一個橫截面)， 再把上下限（是x）帶進去，是以中間大括号隻求x積分，最後把整個上下限帶進去。

x型

先看後邊的公式求(對y)積分，把上下限(關于x的函數)帶入（分别求積分相減），是以後部分隻跟x有關。再把求出來積分(後半部分)帶入前面

y型

先看後半部分，對x求出積分(y看成常數)，上下線(是y的函數)帶入該積分，帶入之後就隻跟y有關。求出來再帶到前面對y再求定積分

例

求在區域D，xy的二重積分？

做題步驟：按照x型做

尺子由左到右，x從0到1,那麼先寫出

。再把上面的函數(y=1)放到上限，下面(y=x)放入下限

,再把被積函數寫上(xy)。如下結果

按照y型做：

尺子由下向上，需要先看左邊的函數是誰(x=0)，(注意y型需要寫成關于y的函數)左邊是下限，右邊的函數是誰(x=y)寫成上限

例

先算出兩個函數與x軸y軸的交點算出來

按x型算

按y型算

例

首先是畫圖需要畫正确

特殊的二重積分

例

注意：這種例子用x型求不出來，隻能用y求。

結果推導

再用分步積分相乘交換

二重積分的計算（極坐标）

極坐标和直角坐标的差別

在極點規定一個方向叫極軸，在極點由極軸逆時針向上掃射，直到掃射到需要的位置，這個位置到極點的距離就是極徑(ρ)。那麼得到的ρ和形成的角度就能确定一個點。

規定定義域

一些點的極坐标表示

有些二重積分在直角坐标不容易積，是以需要極坐标

給一個陰影區域用極坐标表示

特殊的 ρ是變化的，找到做長的就是直徑

極坐标表示射線和直線

直角坐标和極坐标的轉換關系 重要

二重積分的定義寫成極坐标的表達形式 重要，

根據積分區域不同用極坐标表示

三種

用極坐标求二重積分做題思路

步驟 重要

例

記住結果

例

例

适合用極坐标的形式

====================

分離常數法：

綠色框是糾正上面筆記。

絕對值不等式：

二次不等式：

兩個方法，配方法和因式分解法

倒數不等式：

均值不等式：

說明（3）:如果式子中有倒數乘于一個數，就應該想到是兩個數相乘，

例1：

兩個式子相加 如果相乘可以約掉變量，用第二個公式。

例2：将根号裡面提出一個4，兩項都除以4

根号下有兩個式子相乘，那麼就可以用如圖的公式進行轉換變成兩個數相加除以2.

幂的運算：

例2：系數分别相乘除，同底數幂為a的（a*）和同底數幂為b的（b*）分别相乘除

對數運算

二次根号就是根号，隻是縮寫了2

函數：

一次函數

二次函數

一般式

頂點式

兩根式

例：後面項(5 - x)，就提出來一個-1

反比例函數

了解： 關于原點對稱，在一三象限，經過(1,1), (-1,-1)兩個點

函數定義及解析式求解：

複合函數

分段函數

換元法

函數定義域與值域求解

定義域的求解

值域的求解

值域就是y的值，y的最高點是5，那麼取值範圍就是(5,+無窮)

反函數

五大基本初等函數

幂函數

所有的幂函數都有一個公共的特點，就是過(1,1)點

指數函數與對數函數

三角函數

常見的三角函數公式

反三角函數

初等函數

複合分拆

由外到内 使用變量進行替換變量

函數的四個屬性

極限

x在左側或者右側，無限趨近于Xo時，求該函數的極限

x趨于1，x的平方不一定區域1。但是x趨于無窮，那麼x平方一定趨于無窮。

求左極限和右極限是否是相等的

以下解題中

就相當于設一個數是小于零，它的值是多少。0減就是小于零的數。

極限的運算

函數的四則運算

這是上方運算法則(4)的例子

常數除以一個無限接近0的數，那麼結果就是無窮

複合函數的極限

基本未定式的極限

抓大放小。當x趨于無窮值時，變量多個次幂，就比較最高即可算出極限

課堂練習

先分析類型

無窮大和無窮小

當極限為0時，就是無窮小

無窮小的比較

隻适用與乘除

夾逼準則

适用于數列求和運算。

該數列既不是等差數列也不是等比數列，先放縮最小 再放縮最大，那麼中間的就可以用夾逼準則

思路：

先縮小的話，就讓分母越大那麼整個式子值最小。因為n趨于無窮，是以隻能動分母的i，這時讓i取n的話分母也就更大。這時分子應該取最小，整個式子越小，分子i + i/n, 因為n趨于無窮那麼i遠遠大于i/n, 抓大放小的話i不要動，時i/n最小，是以i取1就是1/n。

放大思路反之。

等差數列