序言：
我想對沒有學過對偶問題的朋友說：這篇文章能讓你以最快的速度了解對偶問題的種種，并且會讓你在計算線性規劃問題時多一個殺手锏，在将來優化程式時不至于捉襟見肘。
對于已經學過運籌學但是有些生疏的同學：這篇文章不僅能夠快速喚醒你塵封的記憶，還能夠使你更加深入了解它，有助于印象深刻，不至于下次再來搜尋這個知識點
對于那些掌握了運籌學并且能夠熟練運用的同學：這篇問題能夠幫助你更加深入了解它，本文前兩個讨論都是在說明對偶問題的原理即其和原問題的聯系
對于該專業方面的大佬：來幫我瞅瞅文章的錯誤吧！~.~。。
為了有目标的學習這一章節，我們同樣提出如下幾個問題：
- 對偶問題常見嗎？在生活中的實際應用是怎樣的？
- 對偶問題在運籌學考試中有什麼作用？必須要學嗎？
- 要怎樣才能實作一個線性規劃問題的對偶問題？
- 對偶問題具備怎樣的性質？
針對問題一： 對偶問題在生活中非常常見，可以肯定地說，每一個線性規劃問題都存在一個與之對應的對偶問題。其實對偶問題最後的求解雖然和原問題在含義上是不相同的，但是卻有某種聯系可以将他們連接配接起來。列舉一個書上常見的例子：
某工廠用甲乙兩種資源生産A、B、C、D四種産品，現有資源數、機關産品所需資源數以及機關産品可獲得利潤如下表所示。問如何組織生産能夠使得利潤最大？
根據題意列出的線性規劃不等式是這樣的（大家不用去推出這個公式，目的在于和下文的對偶問題公式形成對比）：
但是現在如果從另一個角度考慮問題。假設該廠不生産A、B、C、D四種産品，而是将甲、乙兩種資源出租給其他機關，其原則是：識别的機關願意租，又使本機關獲利不低于原利潤。問如何給甲、乙兩種資源定價最合理？
根據題意列出的線性規劃不等式是這樣的：
可以發現，兩個問題下的線性規劃公式很相似（具體的如何轉換會在下文予以說明）。那麼兩個問題具有什麼樣的實際意義呢？可以考慮該廠的目的現在是想要出租資源但是要保證價格不低于資源變成産品所帶來的收益。也就是說第二個問題所求出來的最小(優)值應該是第一個問題求出的最大(優)值，換句話說我們可以通過原問題的對偶問題的最優值來獲得原問題的最優值，但為什麼要這樣做呢？直接用原問題來求得最優值不可以嗎？這就是我們第二個問題所涉及的了。
針對問題二：①：仔細對比上圖兩種式子可以發現，圖一中的變量較多而且限制條件較少，相信大家都做過線性規劃的問題，不難發現變量越少，限制條件越多對于我們的求解就越有利。這裡也是這個道理，通過将原問題轉換成為其對偶問題，可以使得更加有利于我們求解線性規劃問題，并且從問題一的解答中我們了解到兩種問題“本是同根生”，是以對偶問題其實是有利于我們計算複雜線性規劃問題的一種"輔助"方式。但是，對偶問題一定比原問題變量要少嗎？并不是這樣的，但是我們可以非常容易的判斷出該問題的對偶問題會不會更簡單，這個方法涉及到對偶問題的轉換，我們在第三個問題中進行解答。②：其實有時不僅僅是為了減少變量的個數，有的問題甚至必須要通過轉換稱為對偶問題才能夠解決(部落客目前的水準下，非數學專業)，比如為了将原式化成标準式時會出現(不)等式右端出現負數的情況，這時如果僅用單純形法是不能夠解決的，是以從這個角度來看，為應對考試對偶問題是必須要學習的。
針對問題三： 接下來我們将進入實戰，直接用執行個體來講解原問題的對偶問題是如何化成的。首先我們以下面這個線性規劃問題為例：
1.對偶問題的目标函數和原問題是相反的，原問題是min則對偶問題為max。并且變量的個數也會發生改變，系數是原問題不等式右端的b值(僅僅是化為對偶問題是不需要将原問題化作标準式的)。根據以上得出目标函數：
2.接下來是寫限制條件，限制條件的書寫是最容易出錯的地方。我們先寫等式的左端，對偶問題等式的左端是根據原問題原問題等式左端豎着來寫的；等式的右端就是直接用原問題目标函數中的系數(先不考慮符号),也就是看如下畫紅框的部分：
根據原問題豎着的系數來作為對偶問題每個等式中變量的系數；原問題目标函數的系數，可以得出如下（先仔細看下紅框裡的資料是如何得到的）：
接着是最為重點的限制條件中的符号和變量的範圍符号，這兩點是根據如下來進行變換：
解釋： 根據max類型寫min類型的變量符号時，要根據max的限制條件符号，并且與之相反；寫min的限制條件符号時，要根據max類型的變量符号，并且與之相同。反之亦然。另外無限制對應的是‘ = ’。最終得到：
至此，我們已經講完了對偶問題的轉換方法，下面再舉一個max類型轉換成min類型的例子，大家可以對照練習加深印象。
針對問題四： 在這裡簡單總結以下遇到的定理和性質。
- 在互為對偶的線性規劃問題中，如果其中一個有最優解，則另一個也有最優解，并且他們的最優值相同。(切記不是最有解，最優解指的是X的取值，該值很大可能不一樣)
- min問題的任意可行解對應的值一定大于其對偶問題max的值，即min的最優值是max的上限，max的最優值是min的下限。
- 一個問題有最優解，那麼對偶問題也一定有最優解；一個問題有無界解，那麼對偶問題無可行解；但如果一個問題無可行解，那麼隻能得到對偶問題無可行解或無界解。
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