一維下料問題的研究

一、概念

下料：有若幹規格的原材料，要切割成一批若幹規格的零件，确定一種切割方式，使得原材料用料最少、産生的廢料最少。

一維下料：上面提到的規格，可以包含很多屬性，比如：長度、寬度、厚度等等。所謂一維下料，隻關注其中一種屬性，而其它屬性被認為全部相同，這樣便大大降低了下料問題的處理難度。本文研究的一維下料，以長度作為優化目标。

二、術語定義

原料：用于切割的原材料，長度不定。

零件：從原料中切割下來的短料。

廢料：一根原料被使用後，剩餘長度無法再用于生産任意零件。一般定義為門檻值。

餘料：一個原料被使用後，剩餘材料仍然可以在後續生産中進行零件切割。

三、問題描述

現有N段長度不等的原料（當然，也可以全部長度相等或者其中一部分長度相等），現需要切割為M段長度不等的零件，生成一種切割方案，使産生的廢料最少（門檻值）、若必須要産生餘料應使餘料大于指定長度（門檻值）以便餘料再利用。

四、解決方案

1）窮舉法

當原料和零件數量很小時，窮舉法可以對所有切割方案進行窮舉周遊，尋找最優解。但是如果原料和零件數量達到一定量後，窮舉法時間複雜度成指數級增長，計算機無法算出結果。這裡給一些定量的概念，比如從零件的角度窮舉，M=20時，窮舉數量級為1,048,576，M=30時，窮舉數量級為1,073,741,824。即時間複雜度為O(2^M)，隐藏零件數量到達20以上時，就變成了無法完成的任務。

2）遺傳算法

百度搜尋“一維下料 遺傳算法”，會得到非常多的相關論文搜尋結果。遺傳算法以進化論為依據，當種群進化若幹代後，便會得到一個相對精英的種群。将一維下料問題轉化為遺傳算法模型如下：

a）染色體：a1,a2,a3......am，表示第m個零件在第am根原料上截取；

b）種群初始化：初始化x個可行染色體種群

c）交叉算子：按交叉機率，對染色體進行兩兩交叉，注意不要交叉出無效染色體

d）變異算子：按變異機率，對染色體中的基因進行剔除并變異，注意不要變異出無效染色體

e）選擇算子：采用錦标賽算法或輪盤賭算法，對優秀染色體進行選擇

f）适應度函數：根據優化目标設計适應度函數，一般從使用率、廢料率角度設計

遺傳算法能對下料方案有一定程度的優化，但是優化不明顯，或許是哪個算子設計不合理、或者參數沒有調到合适的值。（注：相關的論文中，結果資料非常優秀，但本人無法調出那麼優秀的方案，是以對有些論文報懷疑态度）。

3）動态規劃

一維下料的核心，其實可以對接背包問題，而動态規劃實際上是一種解背包問題的其中一種算法。看了幾個論文資料，算法沒看太懂，暫沒時間做實驗，不做評價。

4）自研算法

涉及到商業上的問題，不便多說，但整體思路是模拟人工的操作。一般一個勞工，拿到一組原料和一組零件規格後，隻要給足夠的時間，總能設計出一些比較優秀的方案，而此算法正是模拟這個過程。

五、總結

算法的東西，需要深入研究，但是不能一味的陷進去，有時候換個思路，可能得到意想不到的效果。大道至簡才是精髓。

最後，放上一個測試連結，有興趣的歡迎交流：http://106.53.17.139:8088/demo/

下面貼一組資料：

方案1：
餘    0，排樣規則：2234=2234
餘   37，排樣規則：2676=2639
餘   12，排樣規則：2777=2765
餘   38，排樣規則：2964=2926
餘    1，排樣規則：3062=1518+1543
餘   16，排樣規則：3134=3118
餘    2，排樣規則：3472=3470
餘    8，排樣規則：3513=3505
餘    7，排樣規則：3574=1690+1877
餘   14，排樣規則：3577=1947+1616
餘    8，排樣規則：3972=1747+2217
餘    8，排樣規則：3996=3988
餘    3，排樣規則：4064=2028+2033
餘    3，排樣規則：4212=2567+1642
餘    0，排樣規則：4496=2759+1737
餘    2，排樣規則：4541=2183+2356
餘    0，排樣規則：4550=2632+1918
餘    0，排樣規則：4765=2918+1847
餘    1，排樣規則：4850=4849
餘    6，排樣規則：4902=2714+2182
餘    5，排樣規則：5869=3076+2788
餘    3，排樣規則：5972=3654+2315
餘    1，排樣規則：6135=3249+2885
餘    0，排樣規則：6209=3794+2415
餘    0，排樣規則：7807=3170+2390+2247
餘    2，排樣規則：8567=4698+3867
餘    1，排樣規則：8904=5174+3729
餘    1，排樣規則：9975=2390+2552+2751+2281
餘    0，排樣規則：10729=3757+3195+3777
餘    1，排樣規則：11176=4688+4019+2468
餘    0，排樣規則：11338=5213+3756+2369
餘    2，排樣規則：11561=3520+4546+3493
餘    0，排樣規則：11571=2290+4000+5281
餘    2，排樣規則：12140=3862+4399+2084+1793
餘    0，排樣規則：12613=5157+5391+2065
餘    1，排樣規則：13086=4737+5052+3296
餘    0，排樣規則：13423=4653+4372+4398
餘    2，排樣規則：13461=4713+4271+4475
餘    2，排樣規則：14717=3222+4870+4678+1945
餘    0，排樣規則：14836=4096+5550+5190
餘    0，排樣規則：15015=5023+2527+5312+2153
餘    0，排樣規則：15155=3852+5336+3706+2261
餘    0，排樣規則：15196=5079+2919+4830+2368
餘    0，排樣規則：15330=4031+2751+5726+2822
餘    1，排樣規則：15440=3417+5634+3687+2701
餘    1，排樣規則：15480=2890+4757+5090+2742
餘    0，排樣規則：15688=4129+4214+3227+4118
餘    1，排樣規則：15733=3609+5587+3739+2797
餘    1，排樣規則：15825=4925+5485+5414
餘    0，排樣規則：16118=5373+5581+5164
餘    2，排樣規則：16525=3363+4639+5489+3032
餘    1，排樣規則：16676=5686+5425+5564
餘    2，排樣規則：16719=5783+3481+4413+3040
餘    7，排樣規則：16736=3907+5722+3463+3637
餘    3，排樣規則：16764=5686+5473+5602
餘 3854，排樣規則：16793=4223+4454+4262
餘 3506，排樣規則：20185=5451+5705+5523

方案2：
餘    0，排樣規則：2234=2234
餘   37，排樣規則：2676=2639
餘   12，排樣規則：2777=2765
餘   38，排樣規則：2964=2926
餘    1，排樣規則：3062=1543+1518
餘   16，排樣規則：3134=3118
餘    2，排樣規則：3472=3470
餘    8，排樣規則：3513=3505
餘    7，排樣規則：3574=1877+1690
餘   14，排樣規則：3577=1947+1616
餘    8，排樣規則：3972=2217+1747
餘    8，排樣規則：3996=3988
餘    3，排樣規則：4064=2033+2028
餘    3，排樣規則：4212=2567+1642
餘    0，排樣規則：4496=2759+1737
餘    2，排樣規則：4541=2356+2183
餘    0，排樣規則：4550=2632+1918
餘    0，排樣規則：4765=1847+2918
餘    1，排樣規則：4850=4849
餘    7，排樣規則：4902=2742+2153
餘    0，排樣規則：5869=3687+2182
餘    0，排樣規則：5972=3907+2065
餘    1，排樣規則：6135=3249+2885
餘    0，排樣規則：6209=3794+2415
餘    0，排樣規則：7807=2822+3040+1945
餘    2，排樣規則：8567=5489+3076
餘    1，排樣規則：8904=2701+4118+2084
餘    0，排樣規則：9975=3296+4398+2281
餘    1，排樣規則：10729=5164+5564
餘    0，排樣規則：11176=3739+5190+2247
餘    3，排樣規則：11338=5312+2369+3654
餘    0，排樣規則：11561=3757+5336+2468
餘    0，排樣規則：11571=5550+2315+3706
餘    0，排樣規則：12140=4096+5783+2261
餘    1，排樣規則：12613=2890+5722+4000
餘    1，排樣規則：13086=3170+3195+3493+3227
餘    0，排樣規則：13423=4546+3862+1793+3222
餘    2，排樣規則：13461=2390+3756+5023+2290
餘    0，排樣規則：14717=4757+4475+5485
餘    0，排樣規則：14836=5686+5373+3777
餘    1，排樣規則：15015=4372+5523+2368+2751
餘    1，排樣規則：15155=4870+3481+4413+2390
餘    0，排樣規則：15196=5414+2527+4223+3032
餘    0，排樣規則：15330=5634+5425+4271
餘    0，排樣規則：15440=3609+3867+5213+2751
餘    1，排樣規則：15480=4688+2788+5451+2552
餘    0，排樣規則：15688=4214+3520+5157+2797
餘    3，排樣規則：15733=5726+4830+5174
餘    0，排樣規則：15825=3463+4262+4737+3363
餘    2，排樣規則：16118=2714+4713+5052+3637
餘    9，排樣規則：16525=3729+4019+4639+4129
餘    1，排樣規則：16676=5686+3417+4653+2919
餘   36，排樣規則：16719=5587+5705+5391
餘    0，排樣規則：16736=4399+3852+4454+4031
餘 3565，排樣規則：17866=4678+4698+4925
餘 3508，排樣規則：18958=5281+5090+5079
餘 3529，排樣規則：20185=5473+5602+5581

方案3：
餘    0，排樣規則：2234=2234
餘   37，排樣規則：2676=2639
餘   12，排樣規則：2777=2765
餘   38，排樣規則：2964=2926
餘    1，排樣規則：3062=1543+1518
餘   16，排樣規則：3134=3118
餘    2，排樣規則：3472=3470
餘    8，排樣規則：3513=3505
餘    7，排樣規則：3574=1690+1877
餘   14，排樣規則：3577=1947+1616
餘    8，排樣規則：3972=2217+1747
餘    8，排樣規則：3996=3988
餘    3，排樣規則：4064=2028+2033
餘    3，排樣規則：4212=2567+1642
餘    0，排樣規則：4496=2759+1737
餘    2，排樣規則：4541=2183+2356
餘    0，排樣規則：4550=2632+1918
餘    0，排樣規則：4765=2918+1847
餘    1，排樣規則：4850=4849
餘    6，排樣規則：4902=2714+2182
餘    5，排樣規則：5869=3076+2788
餘    0，排樣規則：5972=3907+2065
餘    2，排樣規則：6135=2281+3852
餘    0，排樣規則：6209=3794+2415
餘    1，排樣規則：7807=5722+2084
餘    3，排樣規則：8567=4372+2247+1945
餘    2，排樣規則：8904=4688+4214
餘    0，排樣規則：9975=5336+4639
餘    0，排樣規則：10729=5473+3463+1793
餘    0，排樣規則：11176=3654+2390+2390+2742
餘    0，排樣規則：11338=2797+2751+3637+2153
餘    1，排樣規則：11561=4653+3040+3867
餘    0，排樣規則：11571=4413+3296+3862
餘    0，排樣規則：12140=4096+5783+2261
餘    0，排樣規則：12613=2701+4129+3493+2290
餘    0，排樣規則：13086=5581+5190+2315
餘    0，排樣規則：13423=5425+2919+5079
餘    0，排樣規則：13461=4925+4830+3706
餘    0，排樣規則：14717=2527+5164+3417+3609
餘    0，排樣規則：14836=5414+4031+5391
餘    0，排樣規則：15015=4000+3777+4870+2368
餘    0，排樣規則：15155=2890+5634+4262+2369
餘    0，排樣規則：15196=5489+3729+3227+2751
餘    0，排樣規則：15330=5686+5373+4271
餘    0，排樣規則：15440=5213+3249+3756+3222
餘    2，排樣規則：15480=5281+5174+5023
餘    3，排樣規則：15688=3363+3757+4019+4546
餘    0，排樣規則：15733=5485+4698+5550
餘    1，排樣規則：15825=2552+3195+4223+3032+2822
餘    1，排樣規則：16118=5564+2468+4398+3687
餘    0，排樣規則：16525=3520+5157+4678+3170
餘    3，排樣規則：16676=3739+5312+4737+2885
餘    7，排樣規則：16719=5523+5602+5587
餘   25，排樣規則：16736=3481+4713+4399+4118
餘   32，排樣規則：16914=5705+5451+5726
餘 3549，排樣規則：17235=4454+4475+4757
餘 3664，排樣規則：19492=5052+5090+5686

方案4：
餘    0，排樣規則：2234=2234
餘   37，排樣規則：2676=2639
餘   12，排樣規則：2777=2765
餘   38，排樣規則：2964=2926
餘    1，排樣規則：3062=1518+1543
餘   16，排樣規則：3134=3118
餘    2，排樣規則：3472=3470
餘    8，排樣規則：3513=3505
餘    7，排樣規則：3574=1877+1690
餘   14，排樣規則：3577=1947+1616
餘    8，排樣規則：3972=2217+1747
餘    8，排樣規則：3996=3988
餘    3，排樣規則：4064=2033+2028
餘    3，排樣規則：4212=2567+1642
餘    0，排樣規則：4496=2759+1737
餘    2，排樣規則：4541=2183+2356
餘    0，排樣規則：4550=2632+1918
餘    0，排樣規則：4765=2918+1847
餘    1，排樣規則：4850=4849
餘    7，排樣規則：4902=2742+2153
餘    7，排樣規則：5869=3493+2369
餘    0，排樣規則：5972=3907+2065
餘    1，排樣規則：6135=3249+2885
餘    2，排樣規則：6209=4262+1945
餘    1，排樣規則：7807=5722+2084
餘    0，排樣規則：8567=2714+3463+2390
餘    0，排樣規則：8904=4830+2281+1793
餘    1，排樣規則：9975=5079+2527+2368
餘    1，排樣規則：10729=3032+5281+2415
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餘    0，排樣規則：12140=4096+2822+2182+3040
餘    0，排樣規則：12613=4688+5373+2552
餘    0，排樣規則：13086=5190+5581+2315
餘    2，排樣規則：13423=4757+4546+4118
餘    0，排樣規則：13461=5023+2890+2797+2751
餘    0，排樣規則：14717=4653+3520+3756+2788
餘    0，排樣規則：14836=3363+3170+5602+2701
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餘    1，排樣規則：15196=4019+4129+3852+3195
餘    2，排樣規則：15330=5052+3417+3637+3222
餘    0，排樣規則：15440=5312+4737+5391
餘    1，排樣規則：15480=5634+4372+5473
餘    0，排樣規則：15688=4639+3706+3481+3862
餘    0，排樣規則：15733=2919+4031+5174+3609
餘    1，排樣規則：15825=4925+5213+5686
餘    5，排樣規則：16118=3296+3687+5336+3794
餘    4，排樣規則：16525=5705+5090+5726
餘    0，排樣規則：16676=5425+3076+4398+3777
餘    0，排樣規則：16719=5783+5485+5451
餘   10，排樣規則：16736=4698+3757+4271+4000
餘    2，排樣規則：16764=5489+5686+5587
餘 3574，排樣規則：16914=4413+4214+4713
餘 3513，排樣規則：19791=5550+5564+5164

方案5：
餘    0，排樣規則：2234=2234
餘   37，排樣規則：2676=2639
餘   12，排樣規則：2777=2765
餘   38，排樣規則：2964=2926
餘    1，排樣規則：3062=1518+1543
餘   16，排樣規則：3134=3118
餘    2，排樣規則：3472=3470
餘    8，排樣規則：3513=3505
餘    7，排樣規則：3574=1877+1690
餘   14，排樣規則：3577=1947+1616
餘    8，排樣規則：3972=2217+1747
餘    8，排樣規則：3996=3988
餘    3，排樣規則：4064=2033+2028
餘    3，排樣規則：4212=2567+1642
餘    0，排樣規則：4496=2759+1737
餘    4，排樣規則：4541=2290+2247
餘    0，排樣規則：4550=2632+1918
餘    0，排樣規則：4765=1847+2918
餘    1，排樣規則：4850=4849
餘    5，排樣規則：4902=2714+2183
餘    7，排樣規則：5869=3493+2369
餘    0，排樣規則：5972=3907+2065
餘    1，排樣規則：6135=3249+2885
餘    0，排樣規則：6209=2415+3794
餘    0，排樣規則：7807=5451+2356
餘    3，排樣規則：8567=3729+2751+2084
餘    0，排樣規則：8904=4000+2751+2153
餘    1，排樣規則：9975=4372+5602
餘    0，排樣規則：10729=4223+4713+1793
餘    0，排樣規則：11176=3687+5174+2315
餘    0，排樣規則：11338=3227+5079+3032
餘    1，排樣規則：11561=2919+2182+2822+3637
餘    0，排樣規則：11571=2261+2281+4639+2390
餘    0，排樣規則：12140=5373+4399+2368
餘    2，排樣規則：12613=3481+3739+5391
餘    1，排樣規則：13086=4262+3076+2552+3195
餘    2，排樣規則：13423=4737+4031+4653
餘    0，排樣規則：13461=4925+4830+3706
餘    0，排樣規則：14717=3862+5686+2468+2701
餘    0，排樣規則：14836=3363+3756+5190+2527
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餘    0，排樣規則：15440=5023+4398+3222+2797
餘    4，排樣規則：15480=3852+2890+5564+3170
餘    6，排樣規則：15688=4454+5705+5523
餘    0，排樣規則：15733=4096+4271+3609+3757
餘    1，排樣規則：15825=5722+5414+4688
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餘    6，排樣規則：16525=3867+3777+4757+4118
餘    3，排樣規則：16676=5164+5726+5783
餘   10，排樣規則：16719=5550+5473+5686
餘    7，排樣規則：16736=4214+3296+5090+4129
餘 3537，排樣規則：17715=5157+4475+4546
餘 3509，排樣規則：19492=5281+5213+5489
餘 3533，排樣規則：19768=5336+5312+5587

方案6：
餘    0，排樣規則：2234=2234
餘   37，排樣規則：2676=2639
餘   12，排樣規則：2777=2765
餘   38，排樣規則：2964=2926
餘    1，排樣規則：3062=1518+1543
餘   16，排樣規則：3134=3118
餘    2，排樣規則：3472=3470
餘    8，排樣規則：3513=3505
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餘   14，排樣規則：3577=1947+1616
餘    8，排樣規則：3972=2217+1747
餘    8，排樣規則：3996=3988
餘    3，排樣規則：4064=2033+2028
餘    3，排樣規則：4212=2567+1642
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餘    2，排樣規則：4541=2183+2356
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餘    1，排樣規則：15015=4372+2751+5523+2368
餘    1，排樣規則：15155=5489+5451+4214
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餘    1，排樣規則：15688=4475+3757+4713+2742
餘    1，排樣規則：15733=4870+5550+5312
餘    2，排樣規則：15825=5564+4678+5581
餘    0，排樣規則：16118=5602+4830+5686
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餘    5，排樣規則：16719=4019+5425+3777+3493
餘   36，排樣規則：16736=3739+5336+4262+3363
餘   91，排樣規則：16764=5726+5164+5783
餘 3533，排樣規則：17235=4546+4399+4757
餘 3548，排樣規則：19573=4925+5414+5686