第 12 章 多路查找樹

1、二叉樹與 B 樹

1.1、二叉樹存在的問題

• 二叉樹的操作效率較高，但是也存在問題, 請看下面的二叉樹
• 二叉樹需要加載到記憶體的，如果二叉樹的節點少，沒有什麼問題，但是如果二叉樹的節點很多(比如1億)， 就存在如下問題:
  • 問題1：在建構二叉樹時，需要多次進行i/o操作(海量資料存在資料庫或檔案中)，節點海量，建構二叉樹時，速度有影響
  • 問題2：節點海量，也會造成二叉樹的高度很大，會降低操作速度

1.2、多叉樹的基本介紹

• 在二叉樹中，每個節點有資料項，最多有兩個子節點。如果允許每個節點可以有更多的資料項和更多的子節點，就是多叉樹（multiway tree）
• 後面我們講解的2-3樹，2-3-4樹就是多叉樹，多叉樹通過重新組織節點，減少樹的高度，能對二叉樹進行優化
• 舉例說明(下面2-3樹就是一顆多叉樹)

1.3、B 樹的基本介紹

• B樹通過重新組織節點，降低樹的高度，并且減少i/o讀寫次數來提升效率。
• 如圖B樹通過重新組織節點， 降低了樹的高度。
• 檔案系統及資料庫系統的設計者利用了磁盤預讀原理，将一個節點的大小設為等于一個頁(頁的大小通常為4k)，這樣每個節點隻需要一次I/O就可以完全載入
• 将樹的度M設定為1024，在600億個元素中最多隻需要4次I/O操作就可以讀取到想要的元素，B樹(B+)廣泛應用于檔案存儲系統以及資料庫系統中

1.4、2-3 樹基本介紹

1.4.1、2-3 應用案例

• 2-3樹是最簡單的B樹結構，具有如下特點:
  • 2-3樹的所有葉子節點都在同一層(隻要是B樹都滿足這個條件)
  • 有兩個子節點的節點叫二節點，二節點要麼沒有子節點，要麼有兩個子節點
  • 有三個子節點的節點叫三節點，三節點要麼沒有子節點，要麼有三個子節點
• 2-3樹是由二節點和三節點構成的樹。
• 2-3 樹插入規則:
  • 2-3樹的所有葉子節點都在同一層(隻要是B樹都滿足這個條件)
  • 有兩個子節點的節點叫二節點，二節點要麼沒有子節點，要麼有兩個子節點
  • 有三個子節點的節點叫三節點，三節點要麼沒有子節點，要麼有三個子節點
  • 當按照規則插入一個數到某個節點時，不能滿足上面三個要求，就需要拆，先向上拆，如果上層滿，則拆本層，拆後仍然需要滿足上面3個條件。
  • 對于三節點的子樹的值大小仍然遵守(BST 二叉排序樹)的規則
• 将數列{16, 24, 12, 32, 14, 26, 34, 10, 8, 28, 38, 20} 建構成2-3樹，并保證資料插入的大小順序，示範一下建構2-3樹的過程
  • 插入 24 時，構成二節點

    

  • 插入 12 時
    • 不能将其放在 16 的左邊，這樣就是四節點了。。。
    • 不能直接挂在 16 的左下位置，這樣就不滿足【2-3樹的所有葉子節點都在同一層】這個條件
    • 是以需要拆掉上一層的節點，将其重新組合成 2-3 樹

  

  • 插入 32 時，可直接放在 24 的右邊，構成一個三節點

  

  • 插入 26 時
    • 不能将其放在 24 的右邊，這樣就是四節點了。。。
    • 不能直接挂在 24 的右下位置，這樣就不滿足 B 樹的條件
    • 是以需要拆掉上一層的節點，将其重新組合成 2-3 樹

  

  • 插入 34 時

  

  • 插入 10 時
    • 當插入10時，應當在 10 - 12 -14 這個位置，但是這時滿了，是以向上層看， 16-26 也滿了
    • 是以将 10-12-14 拆 成 10 <-12->14 ，因為其它拆法，并不能滿足 二節點或三節點的要求
    • 但是這時，葉子節點沒有全部在同一層，需要調整 26 這個值到下面(如圖)

  

  • 插入 8 時

  

  • 插入 28 時

  

  • 插入 38 時

  

  • 插入 20 時

  

1.4.2、其他說明

• 除了2-3 樹，還有 2-3-4 樹等，概念和 2-3 樹類似，也是一種B樹。 如圖:

1.5、B樹的介紹

• B-tree 樹即 B 樹，B 即 Balanced ，平衡的意思。有人把B-tree 翻譯成 B- 樹，容易讓人 産生誤解。會以為 B- 樹是一種樹，而 B 樹又是另一種樹。實際上，B-tree 就是指的 B 樹。
• 前面已經介紹了2-3樹和2-3-4樹，他們就是B樹(英語：B-tree 也寫成B-樹)，這裡我們再做一個說明，我們在學習Mysql時，經常聽到說某種類型的索引是基于B樹或者B+樹的，如圖
• B樹的說明：
  • B樹的階（度）：節點的最多子節點個數。比如2-3樹的階是3，2-3-4樹的階是4
  • B樹的搜尋，從根結點開始，對結點内的關鍵字（有序）序列進行二分查找，如果命中則結束，否則進入查詢關鍵字所屬範圍的兒子結點；重複，直到所對應的兒子指針為空，或已經是葉子結點
  • 關鍵字集合分布在整顆樹中，即葉子節點和非葉子節點都存放資料
  • 搜尋有可能在非葉子結點結束
  • 其搜尋性能等價于在關鍵字全集内做一次二分查找

1.6、B+ 樹的介紹

• B+樹是B樹的變體，也是一種多路搜尋樹。
• B+樹的說明：
  • B+樹的搜尋與B樹也基本相同，差別是B+樹隻有達到葉子結點才命中（B樹可以在非葉子結點命中），其性能也等價于在關鍵字全集做一次二分查找
  • 所有關鍵字都出現在葉子結點的連結清單中（即資料隻能在葉子節點【也叫稠密索引】），且連結清單中的關鍵字(資料)恰好是有序的。
  • 不可能在非葉子結點命中
  • 非葉子結點相當于是葉子結點的索引（稀疏索引），葉子結點相當于是存儲（關鍵字）資料的資料層
  • B+樹的所有葉結點構成一個有序連結清單，可以按照關鍵碼排序的次序周遊全部記錄
  • B+樹更适合檔案索引系統，B樹和B+樹各有自己的應用場景，不能說B+樹完全比B樹好，反之亦然

• 自己對 B+ 樹的了解：
  • 就拿有序數列 { 8, 10, 12, 14, 16, 20, 24, 26, 28, 32, 34, 38 } 來說，如果連結清單形式存儲，搜尋效率肯定低得一匹
  • 但是有沒有什麼方法可以改進呢？一種就是前面所說的二叉樹，還有一種就是現在說的 B+ 樹
  • B+ 樹到底是什麼個意思？比如說我們想要查找 28 這個數，從前面挨個往後查找肯定是不行滴，但是我們知道 28 肯定是在 26 和 38 之間，有這個思路就可以了
  • 我們手動将 { 8, 10, 12, 14, 16, 20, 24, 26, 28, 32, 34, 38 } 分成幾個區間，查找 28 時，直接去他所在區間查不就快得多了嗎？這個所謂的區間，也就是我們常說的索引

1.7、B* 樹的介紹

• B* 樹是B+樹的變體，在B+樹的非根和非葉子結點再增加指向兄弟的指針。
• B* 樹的說明：
  • B* 樹定義了非葉子結點關鍵字個數至少為(2/3)*M，即塊的最低使用率為2/3，而B+樹的塊的最低使用率為B+樹的1/2。
  • 從第1個特點我們可以看出，B* 樹配置設定新結點的機率比B+樹要低，空間使用率更高