邏輯電路概述
~邏輯代數
~基本運算，公式和定理
~邏輯函數的表示，轉換和化簡
1). 數字電路分析與設計工具：邏輯代數
2). 邏輯：事物之間的因果關系。
3). 邏輯代數：邏輯運算的數學方法（布爾代數）
4). 數字中的邏輯代數：二值邏輯，邏輯變量的取值隻有0和1兩種情況；
5). 邏輯代數中的三種基本運算
| 與 (AND) | 或(OR) | 非(NOT) | 異或 | 同或 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 條件 | 條件同時具備，結果發生 | 條件有一個具備，結果發生 | 條件不具備，結果發生 | 取值不同時，發生 | 取值相同時，發生 |
| 符号表示 | Y=A AND B=A&B=A*B=AB | Y=A OR B=A+B | Y=NOT A=A’ | Y=A⊕B=AB’+A’B | Y=A⊙B =AB+A‘B’ |
| 國家标準符号 |  |  | | | |
| 國際标準符号 | | | | | |
6). 幾種常見的複合邏輯運算
7). 基本公式
| 序号 | 公 式 | 序号 | 公 式 |
|---|---|---|---|
| 10 | 1’=0;0’=1 | ||
| 1 | 0A=0 | 11 | 1+A=1 |
| 2 | 1A=A | 12 | 0+A=A |
| 3 | AA=A | 13 | A+A=A |
| 4 | AA’=0 | 14 | A+A’=1 |
| 5 | AB=BA | 15 | A+B=B+A |
| 6 | A(BC)=(AB)C | 16 | A+(B+C)=(A+B)+C |
| 7 | A(B+C)=AB+AC | 17 | A+BC=(A+B)(A+C) |
| 8 | (AB)’=A’+B’ | 18 | (A+B)’=A’B’ |
| 9 | (A’)’=A |
證 明 ： A + B C = ( A + B ) ( A + C ) \color{blue}證明：A+BC=(A+B)(A+C) 證明：A+BC=(A+B)(A+C)
證 ： 右 = A A + A C + B A + B C = A ( 1 + B + C ) + B C = A + B C = 左 \color{blue}證：右= AA + AC + BA + BC = A(1+B+C) + BC=A+BC=左 證：右=AA+AC+BA+BC=A(1+B+C)+BC=A+BC=左
8). 常用公式
1. A + A B = A \color{blue}1.A+AB=A 1.A+AB=A
2. A ( B + C ) = A \color{blue}2.A(B+C)=A 2.A(B+C)=A
3. A B + A B ′ = A \color{blue}3.AB+AB'=A 3.AB+AB′=A
4. A + A ′ B = A + B \color{blue}4.A+A'B=A+B 4.A+A′B=A+B
5. A B + A ′ C + B C = A B + A ′ C ; A B + A ′ C + B C D = A B + A ′ C \color{blue}5.AB+A'C+BC=AB+A'C; AB+A'C+BCD=AB+A'C 5.AB+A′C+BC=AB+A′C;AB+A′C+BCD=AB+A′C
6. A ( A B ) ′ = A B ′ ; A ′ ( A B ) ′ = A ′ \color{blue}6.A(AB)'=AB'; A'(AB)'=A' 6.A(AB)′=AB′;A′(AB)′=A′
邏輯電路中的基本定理
1). 代入定理
在任何一個包含A的邏輯等式中，若以另外一個邏輯式代入式中A的位置，則等式依然成立。
例 ： 1. A + B C = ( A + B ) ( A + C ) \color{blue}例：1.A+BC=(A+B)(A+C) 例：1.A+BC=(A+B)(A+C)
A + B ( C D ) = ( A + B ) ( A + C D ) = ( A + B ) ( A + C ) ( A + D ) \color{blue}A+B(CD)=(A+B)(A+CD)=(A+B)(A+C)(A+D) A+B(CD)=(A+B)(A+CD)=(A+B)(A+C)(A+D)
例 ： 2. ( A B ) ′ = A ′ + B ′ \color{blue}例：2.(AB)'=A'+B' 例：2.(AB)′=A′+B′
( A B C ) ′ = A ′ + B ′ + C ′ \color{blue}(ABC)'=A'+B'+C' (ABC)′=A′+B′+C′
2). 反演定理
對任意邏輯式 Y = > Y ′ \color{blue}Y=>Y' Y=>Y′，即對于任意一個邏輯式Y，若将其中所有的“與”換成“或”，“或”換成“與”，0換成1，1換成0，原變量變成反變量，反變量變成原變量，則得到一個新的邏輯式即為邏輯式Y的非，這個規律稱為反演定理。
∗ = > + , \color{blue}*=>+ , ∗=>+, + = > ∗ , \color{blue}+=>* , +=>∗, 0 = > 1 , \color{blue}0=>1 , 0=>1, 1 = > 0 \color{blue}1=>0 1=>0
例 ： Y = A ′ ( B + C ) + C D \color{blue}例：Y=A'(B+C)+CD 例：Y=A′(B+C)+CD
Y ′ = ( A + B ′ C ′ ) ( C ′ + D ′ ) = A C ′ + B ′ C ′ + A D ′ + B ′ C ′ D ′ ( B ′ C ′ D ′ 可 省 略 ) \color{blue}Y'=(A+B'C')(C'+D')=AC'+B'C'+AD'+B'C'D'(B'C'D'可省略) Y′=(A+B′C′)(C′+D′)=AC′+B′C′+AD′+B′C′D′(B′C′D′可省略)
注 ： 反 演 定 理 按 優 先 級 高 低 進 行 取 反 。 \color{red}注：反演定理按優先級高低進行取反。 注：反演定理按優先級高低進行取反。
3). 對偶定理
對偶式指的是對于任何一個邏輯式Y，若将其中的“·”換成“+”，“+”換成“·”，0換成1，1換成0，則得到一個新的邏輯式Y’，Y’就是Y的對偶式。顯然Y和Y’互為對偶式。
4). 邏輯函數的表示方法
~真值表
~邏輯式
~邏輯圖
~波形圖
5). 真值表轉邏輯式
1.找出真值表中使Y=1的輸入變量取值組合。
2.将每個取值給寫成一個與項，其中取值為1的用原變量，取值為0的用反變量。
3.将這些與項相或即得Y。
最小項
1). n變量邏輯函數的m
~m是與項
~包含n個因子
~n個變量均為原變量或反變量的形式在m中出現一次。對n變量的邏輯函數，有 2 n 2^n 2n個最小項
例如：兩變量A，B的最小項
A’B’,A’B,AB’,AB( 2 2 = 4 2^2=4 22=4個)
最小項編号：以其二進制所對應的十進制進行編号。例：A’B:為01，那麼對應 m 1 m_1 m1
最小項性質：
⋅ · ⋅在輸入變量任意取值的情況下，有且僅有一個最小項的值為1
⋅ · ⋅全體最小項之和為1
⋅ · ⋅任何兩個最小項之積為0
⋅ · ⋅兩個相鄰的最小項之和可以合并，消去一個共同因子，隻留公共因子。
相 鄰 : \color{red}相鄰: 相鄰:僅一個因子不同的自小項。如：A’BC與A’BC’，A’BC+A’BC=A’B。
列：Y(A,B,C)=ABC’+BC=ABC’+BC(A+A’)=ABC’+ABC+A’BC= ∑ m ( 3 , 6 , 7 ) \sum m(3,6,7) ∑m(3,6,7)
最小項的邏輯形式一定是唯一的。
最大項
1). n變量邏輯函數的M
~M是或項
~包含n個因子
~n個變量均為原變量或反變量的形式在M中出現一次。對n變量的邏輯函數，有 2 n 2^n 2n個最大項
例如：兩變量A，B的最大項
A’+B’,A’+B,A+B’,A+B( 2 2 = 4 2^2=4 22=4個)
最大項編号：以其二進制所對應的十進制進行編号。例：A’+B:為10，那麼對應 m 2 m_2 m2
最大項性質：
⋅ · ⋅在輸入變量任意取值的情況下，有且僅有一個最大項的值為0
⋅ · ⋅全體最大項之積為0
⋅ · ⋅兩個相鄰的最大項之積可以合并，消去一個共同因子，隻留公共因子。
相 鄰 : \color{red}相鄰: 相鄰:僅一個因子不同的自小項。如：A’+B+C和A’+B+C’，(A’+B+C)(A’+B+C)=A’+B。
列：Y(A,B,C)=(A+B+C’)(B+C)=(A+B+C’)(B+C+AA’)=(A+B+C’)(A+B+C)(A’+B+C)= ∏ M ( 3 , 6 , 7 ) \prod M(3,6,7) ∏M(3,6,7)
最大項的邏輯形式一定是唯一的。
卡諾圖
⋅ · ⋅ 邏輯函數最小項之和的一種圖形表示。
⋅ · ⋅用 2 n 2^n 2n個小方格分别代表n變量的所有最小項，并将它們排列成矩陣，而且使幾何位置相鄰的兩個最小項在邏輯上也是相鄰的——就得到卡諾圖。
~卡諾圖的表示方法:
1). 用卡諾圖表示邏輯函數
⋅ · ⋅将邏輯函數表示為最小項之和的形式
⋅ · ⋅在卡諾圖上與這些最小項對應的方格上填入1，其餘方格填入0。
簡化方案：
确定使每個與項為1的所有輸入變量取值，并在卡諾圖上對應方格填入1。其餘補0。
2). 邏輯函數的卡諾圖化簡法
2 n 2^n 2n個相鄰最小項，可合并為一項，消去n個因子。
化簡原則：
⋅ · ⋅與項的數目最少，即圈成的矩形數量最少；
⋅ · ⋅每個與項的因子最少，即圈成的矩形最大；
⋅ · ⋅保證每個圈至少有一個"1"隻被圈過一次，否則該圈是多餘的。
3). 具有無關項的邏輯函數的化簡
1.限制項：邏輯函數中輸入變量取值有限制，與這些被限制的取值對應的最小項稱為限制項。
2.任意項：在輸入變量某些取值下，函數值為1或0，不影響邏輯電路的功能，這些取值對應的最小項稱為任意項。
無關項：限制項和任意項統稱為無關項，可寫入邏輯式，也可不寫入邏輯式。
F = ∑ m + ∑ d \color{red}F=\sum m + \sum d F=∑m+∑d