文|暢談古今a
編輯|暢談古今a
前言
雖然對于單簧管的振動和輻射機制已經有了很多了解，但關于單簧管音調是如何産生并傳輸到聽房的整體描述尚未提供。
介紹了室内平均光譜測量結果，證明其與理論推導相吻合，在演奏範圍内，測量和理論都呈現出很高的光譜規律性。
特别重要的是，音孔陣列的截止頻率在音階上基本保持不變，這使得可以為所有音符的奇次諧波和偶次諧波定義一個單一的半經驗公式及其密切相關的公式，這兩個公式均通過相同的三個可調參數與資料拟合。
對于單簧管的振動和輻射機制已經有了很多了解，其中一部分知識是通過純科學研究獲得的，理論和實驗互相交織。
另一部分是通過科學引導下的調整單簧管以實際使用的實驗獲得的，本文概述了單簧管的一般情況，不會涉及區分不同樂器之間的細枝末節。
自振系統
将單簧管視為由一個簧片系統組成，同時作為可調長度氣柱的頂端終端和壓力驅動的非線性流量控制閥。
氣柱是一個基本上是圓柱形的管道，其末端有一個或多個開放的音孔規則排列，延伸一段足夠長的距離，以便最初可以将其視為無限長。
能量主要通過以下機制從網狀系統内的任何振動中損失，這些機制的相對重要性在很大程度上取決于擾動的頻率：
(a)主氣柱和開放音孔陣列的邊界層中的粘性、熱損失以及“多孔性”損失；
(b)通過音孔向演奏樂器的房間輻射損失；
(c)簧片本身的機械粘性損失；
(d)其他次要損失。
對于目前的目的，可以忽略氣柱中的次要損失，并将流量控制器中的節流損失納入對整體流動控制行為的描述中。
單簧片實際上是一個錐形懸臂，在精心設計的“台面”上打開和關閉，模型隻需要包含它的第一模态動力學。
關于為什麼在許多情況下可以忽略單簧片的“軟/硬”彈簧行為的原因已經進行了詳細讨論。
單簧閥可以被表示為一種類似于彈簧支撐的活塞，具有模态品質m、彈簧常數k和阻尼系數Rr，從這些機械參數中，可以推導出固有頻率ω0、半功率帶寬以及阻抗等資訊。
單簧片的流量控制特性可以用一個多項式形式來描述，該多項式将通過單簧片孔徑的流量up表示為口部壓力p的幂級數展開。
流量u(p)可以寫成兩個因子的乘積，其中第一個因子取決于粘性流體通過固定大小的孔徑驅動，其驅動力是演奏者吹氣壓力P與口部内的壓力p之差P-p。
另一種因子描述了孔徑尺寸的影響，并涉及到單簧片頂端孔徑的高度h，對于類似單簧管的單簧片，可以用以下表達式非常準确地表示流量up：
單簧片的振動幅度不僅取決于其兩側的驅動壓差，還取決于驅動頻率ω和單簧片自身的固有頻率之間的關系。
換句話說，孔徑高度h本身與P - p成正比，同時受到由單簧片結構的剛度和慣性屬性主要确定的共振因子Dr的影響。
由于在低頻時Dr的幅值限制為接近1，是以将每個系數寫成Dr和低頻極限形式Ao、Bo、Co等的乘積是有用的。
在正常演奏過程中，音樂家可以通過微調吹口緊張度和/或吹氣壓力來輕松控制單簧片共振的頻率，範圍為2000-3000 Hz。
單簧管音調演奏中幾乎所有的頻譜能量生成都發生在約1500 Hz以下遠低于單簧片共振頻率，是以完全可以使用低頻版本的公式進行讨論，隻有當需要時才将共振因子作為一種攝動引入。
方程2-4暗示了當單簧閥受到樂器氣柱提供的壓力信号刺激時的流量響應在口部内測量。類似地，可以說氣柱系統的壓力響應由方程5給出。
通過單簧閥進入口部腔體的流量信号分為兩部分，其中一部分流入主氣柱的入口産生一個與輸入阻抗成比例的口部壓力。
口部壓力可以通過uω與單簧片的撓曲阻抗Zrω和氣柱的輸入阻抗Zaω的并聯組合Zω的乘積來計算：
方程1描述了流量控制單簧片的動力學特性，即控制其對作用力的機械響應的屬性，而方程2和3則提供了對單簧片作為響應刺激壓力時的“主動”流量控制行為的表示。
方程4顯示了單簧片兩個基本屬性之間互動的一個重要方面，同樣地，在方程5中，可以看到對流量刺激的“被動”聲學系統的壓力響應的描述。
把注意力限制在嚴格周期性的振蕩上，因為這些是音樂上最重要的類型，無論振蕩的細節如何，我們可以将流量信号表示為一個關于“演奏頻率”ω₀的諧波的普通傅立葉級數形式：
給定單簧片和氣柱的淨阻抗，我們用Zn表示其幅度，并用4n表示其在第n個諧波頻率上的相位，口部的壓力信号可以寫成以下形式：
方程2、6和7可以同時求解，得到口部内的壓力頻譜，我們要感謝對這個基于現有論述的公式的研究，這個公式在他們其他更詳細的研究中獲得了很大的啟發。
盡管沿着這些思路進行的計算非常繁瑣，多年來投入在這方面的努力已經證明是值得的，因為系統行為提供了大量有用的洞察。
盡管所有這些結果在實驗測試中已被證明，但其中很多并不在分析方法中引起注意，這些方法可以更直接、高效地導緻最終的譜系數。
解的可解釋性的關鍵非常早就被認識到了，令人驚訝的事實是，譜幅對Zn和Dn的相位幾乎完全不敏感。
早在1970年，單簧管的演奏行為在峰值1和峰值2的頻率比大于3時與頻率比小于3時是相同的，這是令人驚訝的，因為預期Zn的相位會從超前變為滞後，當穿過對齊點時，正式證明了這一點。
相位獨立性在振蕩理論架構下是數學上可能的，證明了這一點，方程8訓示了在樂器的口部觀察到的第n個諧波分量的壓力幅度的一般行為。
對于n≥1，該表達式建立在單簧片不發生拍動的假設基礎上否則會破壞方程2的幂級數展開的有效性，參數Po是一個比例因子，使得當pl/Po = 1時，單簧片剛好不會發生拍動。
對應的pl的表達式幾乎完全具有相同的形式，在這裡不需要給出，雖然詳細性質目前并不重要，但應該在這裡指出，fpn和Fpn函數的代數形式[依賴于方程2的B,C,D,...系數已經通過至少推導到了前三項。
通過逐一考察結果的各個特征，我們可以洞察其意義，首先考慮方程8在低幅度演奏極限下的形式，在這種情況下，方程2中的二次和高階項流量控制多項式變得可以忽略不計，在方程8中的大括号内沒有起作用。
在這些條件下，分母具有形式1 - Zn^4/3dn·a0，其為零的情況是邊緣自持振蕩器的熟悉回報放大器關系。
同樣熟悉的結果是：如果任何ZnD^4/3乘積大于1，将在相應頻率nω₀産生過剩能量，并且pn的振幅将以指數方式開始以“過剩增益”的數量決定的速率增長。
是以，對于固定值的單簧片流量控制參數組合A₀D^4/3n，我們預期振蕩在Zn較大的頻率上更有利，而擾動将會消散，如果它們以Zn較小的頻率開始的話。
除此之外由于沒有互諧耦合項，在小振幅下，各個分量獨立地産生并增長，其振幅和相位之間沒有固定的關系。
樂器聲音可能以定義良好的頻譜開始的唯一原因是屬于Zω較高共振峰的分量将比由弱成員饋送的分量更快地系統地增長。
非線性振蕩器的熟悉特征
如果氣柱的阻抗峰值位于不是諧振關系的頻率上，初始頻譜的性質也将是非諧波的與通常操作的風樂器音調觀察到的情況相反。
無論阻抗峰值在頻率上的分布如何，随着每個信号壓力成分的振幅增長，方程8中的高階項逐漸發揮作用，導緻各個成分之間的交叉耦合是以也導緻能量交換，并生成新的頻率在頻譜中産生。
顯然，當一個包含非線性部分的動力系統比如風樂器接收到一個兩個成分的刺激時，其描述需要使用基本上所有指數高達N=4、5或6。
這個系統将生成一個複雜的響應頻譜，由幾十甚至數百個成分組成，如果對非線性部分的驅動刺激包括假設半打強刺激成分而不僅僅是兩個，則複雜性會更加複雜。
混頻譜的複雜性以及組分之間的能量傳遞過程意味着，如果氣柱的阻抗峰值位于非諧頻率上，演奏者試圖進行漸強演奏的任何嘗試都将受挫。
當樂器在非常低的演奏水準下奏響時，在Z的峰值處會形成一系列獨立的振蕩頻率在準線性條件下可以産生能量。
這些峰值連在一起形成了一個龐大的離峰混頻族群，它們吸收能量而不是産生能量，是以要麼完全抑制整個振蕩，要麼被迫将其局限在準線性的小振幅領域内。
如果氣柱的形狀使得阻抗峰值頻率幾乎處于諧振序列中，那麼啟動時的混頻将最初聚內建緊密的組分團塊，每個團塊都聚集在參考基頻的諧波附近，任何接近Z峰值之一的團塊成員都能夠以正能量再生，并将一部分能量傳遞給相鄰的團塊。
實際上，這些團塊将迅速凝結通過相位鎖定作用，這是所有準同步非線性振蕩器的熟悉特征，形成一個精确的諧振頻率集合，其基頻Wo已經确定，以使整個系統的淨能量産生最大化。
演奏頻率的諧波與能量産生最有利的活躍阻抗峰值頻率以某種權重最佳拟合方式最接近。
如果氣柱和簧片系統的Z峰值是非諧振排列的，振蕩會被強烈地自我限制甚至自我抑制，指出，如果系統的諧振峰與非諧振波動頻率之間的偏差不超過這些諧振峰的半帶寬，那麼一種振蕩狀态就變得可能，其中頻率分量具有嚴格的諧波、相位鎖定的譜結構。
然而，尚未展示的是，在一個短暫的起始時期之後，這種可能的振蕩狀态已經演變成嚴格意義上穩定的振動類型，每個諧波分量都發展出了自己确定的振幅和相位。
現在可以簡要而有效地讨論迄今為止所描述的振蕩狀态的最終穩定性問題，将會展示，提供單簧管氣柱下端終止的音孔系統的特性會消除氣柱的模态共振，對于高于截止頻率COc的頻率。
由于産生譜能量需要至少一些最小高度的Z、Zr/Z+Zr阻抗峰值，顯然截止頻率的存在意味着存在一個有效的限制頻率，在此頻率以上基本上沒有能量生成，單簧管中的振蕩能量産生本質上受到帶寬限制。
筆者觀點
單簧管的主要功能部分對頻譜産生了影響，并且測量了單簧管低音區域許多音符的頻譜。
由于單簧管演奏者相對容易水準演奏在這裡定義為簧片與吹口相接觸但沒有開始振動，是以可以獲得許多音符以明确定義的音樂動态水準演奏時的頻譜。
這非常重要，因為單簧管音色的頻譜形狀對演奏水準非常敏感。
參考文獻
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