(1)LQR簡介
LQR(linear quadratic regulator)即線性二次型調節器，其對象是現代理論中以狀态空間形式給出的線性系統。LQR最優設計是指設計出的狀态回報控制器 K要使二次型目标函數J 取最小值,而 K由權矩陣Q 與 R 唯一決定,故此 Q、 R 的選擇尤為重要。
(2)LQR的特點
LQR理論是現代控制理論中發展最早也最為成熟的一種狀态空間設計法。特别可貴的是 ,LQR可得到狀态線性回報的最優控制規律 ,易于構成閉環最優控制。而且 Matlab 的應用為LQR 理論仿真提供了條件 ,更為我們實作穩、準、快的控制目标提供了友善。
(3)LQR針對的問題
LQ問題的幾種特殊情況
1、狀态調節器問題：用不大的控制能量，使系統狀态X(t)保持在零值附近
2、輸出調節器問題：用不大的控制能量，使系統輸出Y(t)保持在零值附近
3、跟蹤問題：用不大的控制量，使系統輸出Y(t)緊緊跟随Yr(t)的變化
(4)LQR應用原理
線性二次型是指系統的狀态方程是線性的，名額函數是狀态變量和控制變量的二次型。考慮線性系統的狀态方程為：
找一狀态回報控制律：
使得二次型性能名額最小化：
其中，x(t)為系統的狀态變量；t0,tf 為起始時間與終止時間；S為終态限制矩陣；Q(t)為運動限制矩陣；R(t)為限制控制矩陣。其中Q(t)、R(t)決定了系統誤差與控制能量消耗之間的相對重要性。為使J最小，由最小值原理得到最優控制為：
則
式中，矩陣P(t)為微分Riccatti方程的解
對于最優回報系數矩陣，使用Matlab中專門的求解工具lqr()來求取。 [K,P]=lqr(A,B,Q,R).
以下是以一階倒立擺為研究對象，使用LQR算法實作倒立擺的穩定。
步驟一：将倒立擺系統表達為狀态間的形式，詳細的推導可參考其他資料。
步驟二：利用matlab的lqr函數求解K。
步驟三：将輸入u(t)=-K*x(t)帶入系統中。
（下方第一幅圖為輸入力的大小，斷點為添加的幹擾，第二幅圖的為位置x的變化，第三幅圖為擺杆與垂直方向的夾角随時間的變化，初始倒立擺的角度為10°）
仿真源碼