淺談圖象的全變分和去噪

全變分（Total variation），也稱為全變差，是圖象複原中常用的一個名詞。本文簡要介紹全變分的概念以及在圖象去噪中的應用。

一維信号的全變分和去噪

一維連續函數的全變分

一維連續實函數 f ( x ) f(x) f(x)在區間 [ a , b ] ⊂ R [a, b] \subset R [a,b]⊂R上的全變分定義為參數曲線 x → f ( x ) , x ∈ [ a , b ] x \rightarrow f(x), x \in [a,b] x→f(x),x∈[a,b]的弧長。其表達式為

V a b ( f ) = ∫ a b ∣ f ′ ( x ) ∣ d x V_a^b(f) = \int_a^b |f'(x)|dx Vab​(f)=∫ab​∣f′(x)∣dx

說白了，所謂的“變分”就是 ∣ f ( x + Δ x ) − f ( x ) ∣ |f(x+\Delta x) - f(x)| ∣f(x+Δx)−f(x)∣，對于連續函數 Δ x → 0 \Delta x \rightarrow 0 Δx→0。而全變分是對函數定義的區間而言的，就是将“變分”在區間上累加起來。

一維離散信号的全變分

從上面連續實函數的全變分，我們可以很容易想到它的離散形式。給出信号序列 { y i } , i = 1 , . . , n \{y_i\},i=1,..,n {yi​},i=1,..,n，它的全變分定義為

V ( y ) = ∑ i = 1 n ∣ y i + 1 − y i ∣ V(y) = \sum_{i=1}^{n} |y_{i+1} - y_i | V(y)=i=1∑n​∣yi+1​−yi​∣

用一句話來概括，全變分是前後項之差的絕對值之和。

一維信号去噪

當我們得到觀察信号 x i x_i xi​，希望 x i x_i xi​變得平滑，也就是對 x i x_i xi​去噪。一種很直覺的想法就是讓信号的全變分變小。全變分對應的實體意義就是輸入信号的平滑度。設得到的恢複信号為 y i y_i yi​，它應該滿足兩個條件：

• y i y_i yi​與觀察信号 x i x_i xi​的差距不大。這個差距的常用數學表達式就是

E ( x , y ) = 1 2 ∑ i ( x i − y i ) 2 E(x,y) = \frac{1}{2} \sum_i (x_i - y_i)^2 E(x,y)=21​i∑​(xi​−yi​)2

• y i y_i yi​的全變分不大。

将實體限制轉化為數學模型，求解 y y y等價于求解下面這個優化問題：

min ⁡ y E ( x , y ) + λ V ( y ) \min_{y} E(x,y) + \lambda V(y) ymin​E(x,y)+λV(y)

其中參數 λ \lambda λ是正常數，用于調節兩個限制的作用大小。注意到 E ( x , y ) E(x,y) E(x,y)和 V ( y ) V(y) V(y)都是凸函數，這是一個無限制凸優化問題，有很多經典方法可以求解。

二維離散信号（圖象）的全變分和去噪

圖象是典型的二維離散信号，Rudin在1992年将其全變分定義為

V ( y ) = ∑ i , j ∣ y i + 1 , j − y i , j ∣ 2 + ∣ y i , j + 1 − y i , j ∣ 2 V(y) = \sum_{i,j} \sqrt{ |y_{i+1,j}-y_{i,j} |^2 + |y_{i,j+1} - y_{i,j}|^2 } V(y)=i,j∑​∣yi+1,j​−yi,j​∣2+∣yi,j+1​−yi,j​∣2

​

這個函數是各項同性的，但是不可微。這個形式的全變分求解比較困難，是以二維全變分有另一種常用定義

V ( y ) = ∑ i , j ∣ y i + 1 , j − y i , j ∣ 2 + ∣ y i , j + 1 − y i , j ∣ 2 = ∑ i , j ∣ y i + 1 , j − y i , j ∣ + ∣ y i , j + 1 − y i , j ∣ \begin{aligned} V(y)& = \sum_{i,j} \sqrt{ |y_{i+1,j} - y_{i,j}|^2} + \sqrt{ |y_{i,j+1} - y_{i,j} |^2} \\ &= \sum_{i,j} |y_{i+1,j} - y_{i,j}| + |y_{i,j+1} - y_{i,j} | \end{aligned} V(y)​=i,j∑​∣yi+1,j​−yi,j​∣2

​+∣yi,j+1​−yi,j​∣2

​=i,j∑​∣yi+1,j​−yi,j​∣+∣yi,j+1​−yi,j​∣​

這個函數容易在最小化問題中求解了。

仿照一維信号的去噪，基于全變分的圖象去噪可以看成求解優化問題

min ⁡ y E ( x , y ) + λ V ( y ) \min_y E(x,y) + \lambda V(y) ymin​E(x,y)+λV(y)

其中 E ( x , y ) E(x,y) E(x,y)作為資料誤差項定義為

E ( x , y ) = 1 2 ∑ i , j ( x i , j − y i , j ) 2 E(x,y) = \frac{1}{2}\sum_{i,j} (x_{i,j} - y_{i,j})^2 E(x,y)=21​i,j∑​(xi,j​−yi,j​)2

當 V V V有凸函數形式時，問題變為無限制凸優化問題，進而容易求解。