是信号與系統這門學科的靈魂。這三種變換既有聯系，又有差別。無論你的專業是通信工程、電子資訊工程、電氣工程及其自動化、計算機科學...都需要用到這三種變換來對具體過程具體分析。可以毫不誇張的說，這三種變換對于一個理工生來說極其重要。這個學期我也在學習信号與系統，希望分享一點自己對于這門學科的認識，同時加深自己對于信号與系統認識。有不足或者錯誤之處，還請指正！
廢話不多說，先來看一下傅裡葉變換！
從數學的角度上來說，傅裡葉變換、拉普拉斯變換與Z變換都是一種積分運算，本質上具有相聯性，而拉普拉斯變換與Z變換都可以通過傅裡葉變換導出，由此可見傅裡葉變換的重要。一、傅裡葉級數
在正式介紹傅裡葉變換之前，先來介紹傅裡葉級數。它分為兩種形式：
1.三角形式的傅裡葉級數
其中
為周期為
P的周期信号
從三角形式的傅裡葉級數可以看出：
一個周期信号可以看成是直流分量（A0/2）、基波（ 但是由于三角傅裡葉級數的系數較難求解，我們一般在分析中不會采用這種形式，而轉而采用第二種：
2.指數形式的傅裡葉級數 綜合公式：（synthesis equation） （1） 其中
稱為
幅度頻譜，這些系數是對信号x（t）中每一個諧波分量大小的度量。 arg 稱為
幅度頻譜。（2）系數
是x(t)的直流分量，也是
x(t)在一個周期内的平均值 3.傅裡葉級數的收斂條件 連續時間信号的傅裡葉級數收斂條件——狄利克雷條件(1)在任何周期内，
x(t)必須絕對可積，即：
這一條件保證每一個系數
都是有限值。
(2)在任意有限區間内，x(t)
具有有限個起伏變化。也就是說，x(t)的最大值和最小值的數目有限。
(3)在x(t)的任何有限區間内，隻有
有限個不連續點，且這些不連續點上函數為
有限值。
以上就是著名的狄利克雷條件，它是傅裡葉變換存在的充分條件。
二、連續時間傅裡葉變換 1.非周期信号的CTFT表示非周期信号傅裡葉變換對
傅裡逆葉變換（綜合式）
傅裡葉變換（分析式）
2.周期信号的CTFT表示由于周期信号不滿足狄利克雷條件中的絕對可積，如果将周期信号直接代入上面的公式，積分是不收斂的，
但這并不意味這周期信号的傅裡葉變換不存在。
在正式講周期信号的CTFT之前，我們先來了解一下
的傅裡葉變換
由分析公式
代入x(t)=
，我們發現結果并不收斂。沒有關系，此路不通我們另辟蹊徑，用一條路找到它的傅裡葉變換。
因為δ（t）的傅裡葉變換是1
（根據機關沖激函數的篩選性質，将x(t)=δ(t)代入分析公式，很容易得出δ（t）的傅裡葉變換就是1）
那麼有：
把2π乘到等式左邊：
另t=-w，w=a：
于是有：
對比傅裡葉變換的分析式可得：
FT（
）=2πδ（w-
）
有了上面這個變換對，我們就可以求出周期信号的傅裡葉變換。
對于周期信号
,将其進行傅裡葉級數展開：
對等式兩邊進行傅裡葉變換：
FT（ （k=0,±1，±2...）
處，沖激的強度等于傅裡葉級數中對應系數 這裡我們直接給出傅裡葉變換性質的表格彙總
具體的證明這裡就不給出了，我有性質證明的手稿，有需要的小夥伴可以私信我。
上面的這些性質都需要牢記，不需要死記硬背，自己推導一遍，了解性質的含義，在這個基礎之上再去背，記的會更牢。 四、常見傅裡葉變換 上面這些常見傅裡葉變換可以記一些比較常見的，比如機關階躍函數、矩形波、周期方波這些比較難推導的。還是一樣，
如果需要這些傅裡葉變換推導過程的小夥伴可以私信我。
下面對幾個公式進行總結 傅裡葉變換對： 綜合式
分析式
傅裡葉級數： 綜合式
分析式
可能有小夥伴覺得這四個公式很容易混淆，我是這麼記憶的：CTFS的綜合式前面沒有系數，那麼CTFT的綜合式前面就有系數；CTFS的分析式前面有系數，那麼CTFT的綜合式前面就沒有系數。如果是離散變量（k、n）就是累加求和，如果是連續變量（t、w）就是積分。記憶方法因人而異，可以多比較總結一下，這裡就不贅述了。
最後，碼字不易，路過的小夥伴們點個贊再走呗(*^▽^*)後面也會陸續分享拉普拉斯變換、Z變換的筆記~