關于傅裡葉變換中變量代換的了解
問題
首先給出傅裡葉變換對的公式：
\(\left\{\begin{matrix}X(jw)=\int x(t)e^{-jwt}dt\\ x(t)=\frac{1}{2\pi}\int X(jw)e^{jwt}dw\end{matrix}\right.\)
提出幾個問題
- \(x(at)\)與\(x(t)\)的傅裡葉變換關系
- \(\left\{\begin{matrix}F(u)=\int x(t)e^{-j2\pi ut}dt\\ x(t)=\int F(u)e^{j2\pi ut}du\end{matrix}\right.\)該公式是否成立？如何得到呢？
問題1
這裡先要搞懂，傅裡葉變換的形式事實上是
\(\left\{\begin{matrix}X(jw)=F(x(t))\\ x(t)=F^{-1}(X(jw))\end{matrix}\right.\)，
變換的作用對象是\(x(t)\)，即函數本身，觀察一下傅裡葉變換公式，可以發現裡面的\(e^{jwt}\)也存在\(t\)，但這個\(t\)是等式裡的\(t\)，當我們求一個函數的傅裡葉變換時，這個\(t\)是不應代換的。
原因就是因為我們求的是函數的變換，而變換的作用對象就是函數本身，是以我們要代換的是函數本身，而不是函數的變量，比如說我們可以令函數\(g(t)=x(at)\)，那麼\(g(t)\)的傅裡葉變換應為\(G(jw)=\int g(t)e^{-jwt}dt=\int x(at)e^{-jwt}dt\)。
這樣一來，\(x(at)\)的傅裡葉變換就為\(G(jw)=\int x(at)e^{-jwt}dt\)，注意這裡為了區分使用了\(G(jw)\)為\(x(at)\)的傅裡葉變換，而\(x(at)\)的傅裡葉變換為\(X(jw)\)
我們觀察一下\(G(jw)\)與\(X(jw)\)，現在我們對等式變量進行變換，有\(G(jw)=\int x(at)e^{-jwt}dt\)，令\(at=\tau\)則\(G(jw)=\frac {1}{|a|}\int x(\tau)e^{-\frac {jw\tau}{a}}dt\),注意這存在絕對值，是因為定積分微分變量換元時，需要考慮上下限的變換，是以\(G(jw)=\frac{1}{|a|}X(\frac {jw}{a})\)。
問題2
這個式子其實就是簡單的變量代換，注意這裡是對等式而言的，并不像上面，是對\(x(at)\)進行傅裡葉變換。
令\(w=2\pi u\),則有
\(\left\{\begin{matrix}X(j2\pi u)=\int x(t)e^{-j2\pi ut}dt\\ x(t)=\frac{1}{2\pi}\int X(j2\pi u )e^{j2\pi ut}d2\pi u=\int X(j2\pi u)e^{j2\pi ut} du\end{matrix}\right.\)
令\(F(u)=X(j2\pi u)\)，即可完成該等式的證明。
總結
其實在對傅裡葉變換對進行變量代換的時候，要考慮清楚到底是對等式進行變換，還是求某個函數的傅裡葉變換，
前者就直接對等式進行變量代換，後者就按傅裡葉變換進行函數代換。
轉載于:https://www.cnblogs.com/Rainlee007/p/7087186.html