【線性代數】抽絲剝繭系列之相似和對稱

1.對稱矩陣、實對稱矩陣和對角陣

1.1 對稱矩陣

指以主對角線為對稱軸，各元素對應相等的矩陣，即可知矩陣A的轉置等于其本身（$A^T=A$）。

對任意矩陣A均有，矩陣$A^TA$為對稱矩陣，且對任何方陣X，$X+X^T$是對稱矩陣。

1.2實對稱矩陣

實對稱矩陣式對稱對陣的子集，如果有n階對稱矩陣A，其矩陣的元素均為實數，則稱A為實對稱矩陣。

對稱矩陣不同特征值對應的特征向量是正交的，實對稱矩陣是對稱矩陣的特例，是以也不例外。

1.3對角陣

隻有對角線上有非0元素的矩陣稱為對角矩陣，或說若一個方陣除了主對角線上的元素外，其餘元素都等于零，則稱之為對角陣。

相似對角化的充要條件是

n階方陣A有n個線性無關的特征向量

。實對稱矩陣滿足要求，說明

實對稱矩陣一定可以相似對角化

。

==注意==：

對于對角陣$\Lambda = \begin{bmatrix}4&0\0&4\end{bmatrix}$而言，比較與其擁有相同特征值的若爾當型矩陣$\begin{bmatrix}4&1\0&4\end{bmatrix}$，這類矩陣像對角陣且特征值也相同，卻無法被對角化，說明單純從特征值角度入手是無法判斷矩陣相似的。而根據

特征值之和等于迹

、

特征值之積的規律等于行列式值

可以寫出其他特征值相同但無法被對角化的矩陣，如$\begin{bmatrix}5&1\-1&3\end{bmatrix}$。

2.相似和對角化

2.1 相似

相似矩陣是指存在相似關系的矩陣。設A，B為n階矩陣，如果有n階可逆矩陣P存在，使得$P^{-1}AP=B$，則稱矩陣A與B相似，記為A~B。

其具有以下性質：

2.2 對角化

2.3 總結

1. 對于任意矩陣A，如果B與之相似，則要求存在可逆矩陣P使得 $P^{-1}AP=B$；
2. 對角化要求上面的矩陣B為對角陣$\Lambda$，即$P^{-1}AP=\Lambda$。

3.矩陣可對角化的意義