梯形規則和辛普森規則是牛頓-科特規則的特例, 它們使用更高階的函數進行數值積分。
讓抛物線代表圖形的曲線。
y =αx2+βx+γ…………。方程1
在此方法下, 間隔-h≤x≤h的面積為
曲線穿過三個點(-h, y0), (0, y1)和(h, y2)。然後, 通過等式, 我們有：
現在我們可以評估系數α, β, γ并以h, y0, y1和y2表示等式2。
這可以通過以下過程完成。
通過将等式3的(b)代入(a)和(c)并重新排列, 我們得到
αx2-βh= y0-y1 …. equation4
αx2+βh= y2-y1….equation5
将方程式4與方程式5相加得出
2αh2= y0-2y1 + y2 ……等式6
通過代入等式2, 我們得到
現在, 我們可以将方程式8應用于任意曲線y = f(x)的連續段, 其間隔為a≤x≤b, 如圖所示。
我們觀察到抛物線可以通過曲線的兩端和中點近似于曲線寬度2h的每個線段。是以, 線段AB下的面積為
同樣, BC段下的面積為
等等。将每個細分下的區域相加後, 我們得到
由于每個線段的寬度為2h, 是以要應用辛普森數值積分法則, 細分的數量n必須為偶數。此限制不适用于數值積分的梯形規則。
方程11的值可從