數字圖像處理-傅裡葉變換
馬殿富 [email protected] 2002.9.29 變換問題的引入 數字圖像正交變換 傅裡葉變換 沃爾什變換 哈達瑪變換 離散餘弦變換 K-L變換 小波變換 傅裡葉變換 傅裡葉變換是線性系統分析的一個有力工具，它能夠定量地分析諸如數字圖像之類的數字化系統，把傅裡葉變換的理論與實體解釋相結合，将有利于解決大多數圖像處理問題。 幅值 頻率 一維基函數 一維傅立葉變換定義 設 x(n):x(0),x(1),……,x(N-1); X(m): X(0), X(1),……,X(N-1)是數字序列， 則序列x(n)的傅立葉變換生成序列X(m)表示如下： x(n)是輸入函數，X(m)是輸出函數，N=8 二維傅立葉變換定義 圖像矩陣 實數 二維傅立葉變換定義 設 f(x,y):f(0,0),f(0,1),……,f(0,N-1), f(1,0),f(1,1),……,f(1,N-1), ……. f(N-1,0),f(N-1,1),……,f(N-1,N-1),是數字矩陣 F(u,v): f(x,y):f(0,0),f(0,1),……,f(0,N-1), f(1,0),f(1,1),……,f(1,N-1), ……. f(N-1,0),f(N-1,1),……,f(N-1,N-1),是數字矩陣 則f(x,y)的傅立葉變換生成F(u,v)表示如下： 二維傅立葉變換 傅立葉變換：F(u,v)=|F(u,v)|ej?(u,v) 傅立葉譜： |F(u,v)|= [R2(u,v)+I2(u,v)]1/2 相位 ?(u,v)=arctan(I(u,v)/R(u,v)) 能量譜: E=|F(u,v)|2 二維傅立葉變換 二維傅立葉變換示例(1) 二維傅立葉變換示例(2) 傅裡葉變換示例 傅立葉變換示例(1) 圖像中的周期性噪聲産生了變換中的尖峰信号 幅值與相位 傅立葉變換示例(2.1) 傅裡葉變換性質1 可分離性 二維傅裡葉變換可以分離為一維傅裡葉變換處理 傅裡葉變換性質1 可分離性 圖像 傅立葉變換性質2 周期性 如果f(x,y)?F(u,v),則 傅立葉變換性質3 平移性 傅立葉變換性質3 平移性 如果f(x,y)?F(u,v),則 f(x,y)exp[j2?(u0x+v0y)/N]?F(u-u0,v-v0) f(x-x0,y-y0)?F(u,v)exp[-j2?(ux0+vy0)/N] 傅立葉變換性質4 共轭對稱性 如果f(x,y)?F(u,v), F*(-u,-v)是共轭複數，則 F(u,v)= F*(-u,-v) |F(u,v)|= |F*(-u,-v)| 傅立葉變換性質5 旋轉 傅立葉變換性質5 旋轉 設f(x,y)?F(u,v), 傅立葉變換性質6 線性 如果f1(x,y)?F1(u,v), f2(x,y)?F2(u,v),則 傅立葉變換性質7 比例性 如果f(x,y)?F(u,v),則 傅立葉變換性質7 平均值 傅立葉變換性質拉普拉斯算子 如果f(x,y)?F(u,v),并且 ▽2f(x,y)=?2f(x,y)/?x2+?2f(x,y)/?y2,則 ▽2f(x,y)= -(2?)2(u2+v2)F(u,v) 卷積定義 一維卷積定義： 卷積示例(1.1) f(x)和g(x)作卷積 卷積示例(1.2) f(?)和 g(x- ?) 乘積 卷積示例(2) 函數f(x) 卷積示例(3) 折疊 卷積定理 如果f(x,y)?F(u,v), g(x,y) ? G(u,v) 則f(x,y)*g(x,y) ? F(u,v)G(u,v) 許多圖像變換是卷積運算 在頻域的乘積運算比在空域的卷積運算快，特别是有了快速傅立葉變換以後，效果更加明顯。 相關定義 一維相關定義： 相關定理 如果f(x,y)?F(u,v), g(x,y) ? G(u,v) 則f(x,y)?g(x,y) ? F(u,v)G*(u,v) 相關主要應用于模闆和原型比對 給定一個未知圖像和已知圖像集之間求最緊密的比對。其基本途徑是求相關，然後取相關函數最大值。 能量(Rayleigh)定理 能量定義 能量定理 快速傅立葉變換(1) 1850年，高斯給出了DFT有效算法 1942年，丹尼爾森證明了一個界長為N的傅立葉變換可以由兩個界長為N/2的傅立葉變換表示。 1964年，庫利-圖基給出了快速傅立葉變換算法 快速傅立葉變換(1) 計算複雜性：N乘法，N(N-1)加法 快速傅立葉變換(2) W是周期為N的周期函數 W=cos (2?/N) -