省級科研論文發表用DFT對連續信号譜分析的誤差問題
釋出時間：2014-07-11 15:10:21更新時間：2014-07-11 15:10:56浏覽：1次
連續信号的譜分析是數字信号處理的一個重要内容。對信号進行譜分析，關鍵是得到信号的傅裡葉變換。由于離散傅裡葉變換(DFT)有快速算法FFT，是以經常用DFT(FFT)對信号進行譜分析。但是根據傅裡葉變換理論，若信号持續時間有限長，則其頻譜無限寬;若信号的頻譜
連續信号的譜分析是數字信号處理的一個重要内容。對信号進行譜分析，關鍵是得到信号的傅裡葉變換。由于離散傅裡葉變換(DFT)有快速算法FFT，是以經常用DFT(FFT)對信号進行譜分析。但是根據傅裡葉變換理論，若信号持續時間有限長，則其頻譜無限寬;若信号的頻譜有限寬，則其持續時間無限長 [1]。是以，用有限長序列的有限點的DFT對連續信号進行譜分析必然是近似的，要明确誤差産生的原因，并能夠采取合理措施來降低誤差。
摘 要： 譜分析是數字信号進行中的一個重要問題，初學者普遍對連續信号譜分析了解不深，尤其是在誤差分析時缺乏統一示例，更容易産生困惑。介紹了用離散傅裡葉變換(DFT)對連續信号進行譜分析的過程，并詳細說明了誤差産生的原因和減小誤差的方法。而且通過對模拟信号譜分析的執行個體全面說明了各項誤差的影響及解決方案，并應用Matlab直覺地進行了分析和對比驗證。
關鍵詞：省級科研論文發表,譜分析, 誤差分析, DFT, Matlab
Error of continuous signal spectrum analysis based on DFT
QIAO Jian?hua1，2， ZHANG Xue?ying2
(1. College of Electronic & Information Engineering， Taiyuan University of Science & Technology， Taiyuan 030024， China;
2. College of Information Engineering， Taiyuan University of Technology， Taiyuan 030024， China)
Abstract： Spectrum analysis is one of the important missions in digital signal processing. The understanding of most beginners is not deep to continuous signal spectrum analysis， especially lacking of a uniform example in the error analysis， so it is easier to be confused. The process of continuous time signal spectrum analysis using the discrete Fourier transform (DFT) is introduced in this paper. The reasons of generating the errors and the methods of minimizing the errors are illustrated in detail. The influence and solutions of various errors are elaborated through a concrete example of analog signal spectrum analysis. It is verified intuitively through analysis and contrast with Matlab software.
Keywords： spectrum analysis; analysis error; DFT; Matlab
0 引 言
文獻[2?5]也以不同的側重點介紹了DFT在譜分析中的仿真實作，實體實作，具體應用以及針對各種不同信号的譜分析。而對于實際中廣泛存在的連續信号，初學者普遍對其應用DFT的譜分析的原理和過程了解不深，尤其對誤差産生原因不明确，對減小誤差方案不清晰，在具體的應用中不知如何整合這些方案，這都是對整個譜分析過程研究不透徹的緣故。本文從具體的模拟信号譜分析的執行個體入手，來充分說明這一點，并通過Matlab示範來加深對整個譜分析過程中誤差的認識。
1 用DFT對連續信号譜分析
假設模拟信号為[xa(t)]，根據Nyquist采樣定理，使用模拟信号帶寬2倍以上的采樣率才能保證頻譜不混疊，但實際上理想的帶限信号時域上總是無限長的，是以在工程應用時對于帶寬外能量占總能量比例很小的信号，可以近似看成是帶限信号，認為抽樣信号是不失真的。
例如設[xa(t)=e-1 000|t|，]其傅裡葉變換為：
[Xa(jΩ)=FT[xa(t)]=-∞∞xa(t)e-jΩtdt=-∞∞e-1 000|t|e-jΩtdt=2 0001 0002+Ω2] (1)
可以看到這個信号不是一個理想帶限的信号。但是随着[Ω]增加，[Xa(jΩ)]會逐漸減小，可以規定一個帶寬[Ωc，]使得[Xa(jΩc)?1，] 認為當采樣頻率[fs>Ωcπ]時可以無失真地恢複原模拟信号，如本例中取[fc=Ωc2π=2]kHz，此即造成了誤差的産生。[xa(t)]及其幅頻特性曲線如圖1(a)，(b)所示。
對[xa(t)]以采樣頻率[fs=5 ]kHz采樣，即采樣間隔[T=][0.2 ]ms，得采樣信号[xa(nT)=xa(t)t=nT=x(n)，]在式(1)中，由于[t→nT，dt→T，-∞∞dt→n=-∞∞T，]是以得采樣信号的頻譜：
[Xa(jΩ)≈T?n=-∞∞xa(nT)e-jΩnT] (2)
假設将采樣序列[xa(nT)]截取成長度為[M]的有限長序列，此截斷即為誤差産生之二。若頻率用[f]表示，則式(2)寫為： [Xa(jf)≈T?n=0M-1xa(nT)e-j2πfnT] (3)
顯然[Xa(jf)]仍是[f]的連續周期函數，[xa(nT)]和[Xa(jf)]如圖1(c)，(d)所示。
為了進行數值運算，頻域上也要離散化，是以在頻域的一個周期[0， fs]内等間隔采樣[N]點，如圖1(f)所示。由于間隔采樣有可能漏掉重要的頻域資訊，成為誤差産生之三。設頻域采樣間隔為[F，]則 [F=fsN=1(NT)，]将[f=kF]代入式(3)中可得對采樣信号頻譜[Xa(j f)]的采樣：
[Xa(jkF)≈T?n=0M-1xa(nT)e-j2πNkn] (4)
根據頻域采樣定理[6]，如果序列[x(n)]的長度為[M，]隻有當頻域采樣點數[N≥M]時，才可由頻域采樣[X(k)]恢複原序列[x(n)，] 否則會産生時域混疊。是以為簡便計算，将序列也以[N]點長度來截取，則式(4) 的求和上限為[N-1，]并令：[Xa(k)=Xa(jkF)，x(n)=xa(nT)]，則：
[Xa(k)≈T?n=0N-1x(n)e-j2πNkn=T?DFT[x(n)]N， k=0，1，…，N-1] (5)
可見，對近似持續時間有限的帶限連續信号，其頻譜特性可以通過對連續信号采樣[N]點并進行DFT再乘以[T]的近似方法得到。是以用DFT對模拟信号譜分析，産生誤差是必然的。其具體分析過程是首先确定模拟信号的最高頻率[fc]和頻率分辨率[F，]再選取參數，包括采樣頻率[fs，]采樣點數 [N，]記錄時間[Tp]等。其取值分别為：
[fs≥2fcN=fsF≥2fcFTp=NT=Nfs≥1F] (6)
然後根據計算的參數，通過采樣得到信号序列[x(n)]，即可根據式(5)進行運算分析。
圖1 DFT對連續信号譜分析過程
下面具體分析誤差的影響及其減小誤差的措施。
2 誤差分析
2.1 頻譜混疊
在對模拟信号[xa(t)]進行采樣時，必須滿足采樣定理，即采樣頻率[fs≥2fc，]而通過上面分析時域有限的信号不可能是銳截止的，并且信号中不可避免地有一些高頻雜散信号，是以在采樣之前，一般都要對模拟信号進行濾波，濾除高頻雜散信号。如本例中，[fc]取2 kHz，當[fs]=5 kHz時，采樣信号的頻譜混疊很小，見圖1(d);但當選[fs]=1 kHz時，其頻譜如圖1(h)所示，混疊嚴重。以折疊頻率[fs2]處的頻譜幅度來比較[T=]0.2 ms和[T=]1 ms時的混疊程度，此處[k=256，]鍵入Matlab語句，得到：
abs(X1(k))/max(abs(X1))
ans=0.009 4
abs(X2(k))/max(abs(X2))
ans=0.212 6
而在[fc]處，模拟信号的幅度比值為：
abs(Xa(2k))/max(abs(Xa))
ans=0.006 6
可以看出，随着采樣頻率的減小，混疊現象加大。
是以，要減小混疊，必須滿足乃奎斯特采樣定理，并且在采樣前進行預濾波，濾除高于折疊頻率[fs2]的頻率成分，一般取采樣頻率[6][fs≥(3～5)fc。]
2.2 截斷效應
對無限長的模拟信号，用DFT進行譜分析時，必須先進行截斷，通過采樣才能得到有限點的序列，這樣必然産生誤差。截斷可以了解為加窗，即：
[y(n)=x(n)w(n)] (7)
式中：[x(n)]為模拟信号經采樣得到的時域離散信号;[w(n)]為窗函數序列。根據頻域卷積定理，加窗後的信号頻譜為：
[Y(ejω)=12πX(ejω)*W(ejω)] (8)
顯然與原序列的頻譜是不同的。
文獻[7]對常用的五種窗函數的時頻域波形有詳細的對比，是對窗函數本身的性能做了說明。下面僅以矩形窗和hamming窗為例來從加窗對信号頻譜的影響方面來進行分析。圖2所示為矩形窗和hamming窗的時域和頻域波形。由時域波形可見，矩形窗是對原信号的原樣截取，hamming窗是在截取的同時對信号做了權重。由頻域波形可見，矩形窗的主瓣窄，其寬度[8]為[4πN，]但旁瓣幅度也高;hamming窗是以主瓣展寬為代價換取了旁瓣幅度的減小，其主瓣寬度[8]為[8πN，]而主瓣寬度影響的就是頻率分辨率。可見，通過加窗對信号截斷使得對模拟信号的譜分析産生誤差，表現為原本離散的譜線展寬(高頻洩漏)和譜間幹擾等現象，即所謂截斷效應。進而降低了譜的分辨率，使頻率相近的兩個信号不易厘清。
圖2 矩形窗和hamming窗的時頻曲線
是以，為了減小截斷效應的影響，一種方法是增大截取長度，通過改變[N，]使窗函數的主瓣變窄，提高頻率分辨率。另一種方法是改變截斷窗函數的形狀。
下面通過一個例子，來更清楚地展示洩漏和譜間幹擾的影響，以及通過截取長度和加不同的窗函數對頻譜的改善作用[9]，設：
[x(n)=cos(2πf1n)+sin(2πf2n)+cos(2πf3n)]
其中[f1]=25 Hz，[f2]=50 Hz，[f3]=100 Hz，可見其最高頻率為[f3，]頻率分辨率至少為25 Hz，則根據式(6)，截取長度[Tp≥1F=]0.04 s，取采樣頻率[fs]=400 Hz，則最小采樣點[N=][Tp?][fs]=16點，圖3所示為其加矩形窗和hamming窗以[N，][4N，][8N]點分别截斷的頻譜效果。由圖可以清晰地看到，當截取長度太短的時候，洩漏和譜間幹擾都非常嚴重，25 Hz和50 Hz的兩條譜線已無法分辨，隻有增加截取長度[N，]才使得主瓣變窄，提高了頻率分辨率;而采用hamming窗又降低了旁瓣的影響，減小了譜間幹擾。而且可以看出，當[N]一定時，旁瓣越小的窗函數，其主瓣就越寬。增加[N]使主瓣變窄，但旁瓣的相對幅度并不減小。矩形窗的主瓣較窄，但是旁瓣幅度也較高。可見，當截取長度一定時，頻率分辨率和譜間幹擾是互相抵消的，隻能以一種優勢來換取另一種性能的降低。
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