python實作數值分析之龍貝格求積公式

複合梯形公式的提出：

1.首先，什麼是梯形公式：

梯形公式表明：f(x)在[a,b]兩點之間的積分（面積），近似地可以用一個梯形的面積表示。

2.顯然，這個梯形公式對于不同的f(x)而言，其代數精度不同。為了能适合更多的f(x)，我們一般使用牛頓-科特斯公式其中比較高次的公式來進行數值求積。但高次的缺陷是當次數大于8次，求積公式就會不穩定。是以，我們用于數值積分的牛頓-科特斯公式通常是一次的梯形公式、二次的辛普森公式和4此的科特斯公式。

辛普森公式：

科特斯公式：

3.牛頓-科特斯公式次數高于8次不能用，但是低次公式又精度不夠。解決辦法就是使用：複合梯形求積公式。複合求積公式就是在區間[a,b]上劃分n格小區間。一個大區間[a,b]上用一次梯形公式精度不夠，那麼在n個小區間都使用梯形公式，最後将小區間的和累加起來，就可以得到整個大區間[a,b]的積分近似值。

a = x0 < x1 <x2 …<xn-1 < xn =b

令Tn為将[a,b]劃分n等分的複合梯形求積公式，h =(b-a)/n為小區間的長度。h/2類似于梯形公式中的（b-a）/2

注意：這裡的k+1是下标

通過研究我們發現：T2n與Tn之間存在一些遞推關系。

注意：這裡的k+1/2是下标。并且其中的h/2是中的h是Tn(n等分中的h = (b-a)/n))

于是乎，我們可以一次推出T1,T2,T4,T8…T2n序列

引出這些之後，才是我們的主題：龍貝格求積公式

龍貝格求積公式的實質是用T2n序列構造，S2n序列，

再用S2n序列構造C2n序列

最後用C2n序列構造R2n序列。

程式設計實作，了解下面的幾個公式即可。

python程式設計代碼如下：

# coding=UTF-8
# Author:winyn
'''
給定一個函數，如：f(x)= x^(3/2），和積分上下限a,b，用機械求積Romberg公式求積分。

'''
import numpy as np


def func(x):
    return x**(3/2)

class Romberg:
    def __init__(self, integ_dowlimit, integ_uplimit):
        '''
        初始化積分上限integ_uplimit和積分下限integ_dowlimit
        輸入一個函數，輸出函數在積分上下限的積分

        '''
        self.integ_uplimit = integ_uplimit
        self.integ_dowlimit = integ_dowlimit



    def calc(self):
        '''
        計算Richardson外推算法的四個序列

        '''
        t_seq1 = np.zeros(5, 'f')
        s_seq2 = np.zeros(4, 'f')
        c_seq3 = np.zeros(3, 'f')
        r_seq4 = np.zeros(2, 'f')
        # 循環生成hm間距序列
        hm = [(self.integ_uplimit - self.integ_dowlimit) / (2 ** i) for i in range(0,5)]
        print(hm)
        # 循環生成t_seq1
        fa = func(self.integ_dowlimit)
        fb = func(self.integ_uplimit)

        t0 = (1 / 2) * (self.integ_uplimit - self.integ_dowlimit) * (fa+fb)
        t_seq1[0] = t0

        for i in range(1, 5):
            sum = 0
            # 多出來的點的累加和
            for each in range(1, 2**i,2):
                sum =sum + hm[i]*func( self.integ_dowlimit+each * hm[i])#計算兩項值
            temp1 = 1 / 2 * t_seq1[i - 1]
            temp2 =sum
            temp =  temp1 + temp2
            # 求t_seql的1-4位
            t_seq1[i] = temp
        print('T序列：'+ str(list(t_seq1)))
        # 循環生成s_seq2
        s_seq2 = [round((4 * t_seq1[i + 1] - t_seq1[i]) / 3,6) for i in range(0, 4)]
        print('S序列：' + str(list(s_seq2)))
        # 循環生成c_seq3
        c_seq3 = [round((4 ** 2 * s_seq2[i + 1] - s_seq2[i]) / (4 ** 2 - 1),6) for i in range(0, 3)]
        print('C序列：' + str(list(c_seq3)))
        # 循環生成r_seq4
        r_seq4 = [round((4 ** 3 * c_seq3[i + 1] - c_seq3[i]) / (4 ** 3 - 1),6) for i in range(0, 2)]
        print('R序列：' + str(list(r_seq4)))
        return 'end'


rom = Romberg(0, 1)
print(rom.calc())