A、B是兩個n*n的矩陣，計算C=A*B。
傳統算法：
按照下面公式計算，需要n3次乘法和n3-n2次加法，時間複雜度為Θ(n3)。
遞歸算法：
假定n為2的幂，将A、B、C分成4個大小為(n/2)*(n/2)的子矩陣。
用分治法來計算C。
需要8次(n/2)*(n/2)矩陣的乘法和4次(n/2)*(n/2)矩陣的加法，其中乘法是原來的1/8倍消費，加法是原來的1/4倍耗費。用m表示n=1是乘法的耗費，用a表示加法的耗費。
于是有了下面的遞推式：
可以推出：
同樣需要n3次乘法和n3-n2次加法，與傳統方法相比，時間複雜度沒有改進，反而還增加了遞歸帶來的管理開銷。
Strassen算法：
複雜度為o(n3)，運作時間漸進少于n3。
像遞歸方法一樣劃分矩陣，但在計算C的時候有一些不同。
首先計算出一些中間值：
再由這些中間值得出C：
Strassen算法進行了18次加法和7次乘法。對于運作時間有如下的遞推式：
經過計算可得，運作時間為Θ(nlog7)=O(n2.81)。
三個算法的比較：
沒有相關代碼，但貼一個常用的矩陣類模闆：
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
const int dim=20; //最高的次元,可調
int mod=1000000007; // 結果取的模,可調
int mk=5;// 運算時是運算幾維矩陣的,可調
struct Matrix
{
ll a[dim][dim];
Matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}
};
Matrix operator *(const Matrix& a,const Matrix& b)
{
Matrix ret;
for(int i=0;i<mk;++i)
for(int j=0;j<mk;++j)
for(int k=0;k<mk;++k)
{
ret.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j];
ret.a[i][j]%=mod;
}
return ret;
}
Matrix operator ^(Matrix x, ll n)
{
Matrix ret;
for(int i=0;i<mk;++i)ret.a[i][i]=1;
while(n)
{
if(n&1)ret=ret*x;
x=x*x;
n>>=1;
}
return ret;
}
int main()
{
int a;
cin>>a;
}