DL--填坑系列（Back Propagation）

細細數算，在DL這條路上也走了有1年多了，走了很多彎路。感覺看了很多，做了很多，但是基礎一直不是很牢固，是以寫該部落格的目的就是希望此次可以側重從數學理論基礎的角度，即要講究通俗易懂又要能夠進行數學公式的推導。

正題，本文要填的坑是Back Propagation，現在網上有各種各樣的部落格進行相關的介紹，是以這裡沒有必要再重複造輪子。主要對填坑的過程進行梳理，羅列一些比較好的文章。

1.首先需要通過圖形表示的方法結合簡單的例子對BP的結構體系建立直覺的認識。利用計算圖的方式進行表示往往更為直覺。

如何直覺地解釋 backpropagation 算法？

2.有了以上的鋪墊之後，為了檢驗了解加深印象，讓我們動手來完成一個前向傳播和反向傳播梯度下降的執行個體計算。

一文弄懂神經網絡中的反向傳播法——BackPropagation

3.上面的文章缺乏數學公式的推導和證明過程，是以想要看懂花書之類的充斥着各種雅可比矩陣以及梯度等公式還是有些難度的，為了是你可以無阻礙的看懂相關文獻，是以很有必要祭出第三篇文章。

反向傳播算法（過程及公式推導）

這一部分是關鍵，是以有必要進行總結。

對于一般前饋神經網絡的結構如下圖所示：

為了友善描述公式，定義如下符号

L : 神 經 網 絡 的 最 大 層 數 ， 即 對 應 輸 出 層 L:神經網絡的最大層數，即對應輸出層 L:神經網絡的最大層數，即對應輸出層

w j k l : 第 l − 1 層 中 第 k 個 神 經 元 連 接 到 第 l 層 中 第 j 個 神 經 元 之 間 連 接 的 權 重 w^l_{jk}:第l-1層中第k個神經元連接配接到第l層中第j個神經元之間連接配接的權重 wjkl​:第l−1層中第k個神經元連接配接到第l層中第j個神經元之間連接配接的權重

b j l : 第 l 層 第 j 個 神 經 元 的 偏 置 b^l_j:第l層第j個神經元的偏置 bjl​:第l層第j個神經元的偏置

a j l : 第 l 層 中 第 j 個 神 經 元 的 輸 出 a^l_j:第l層中第j個神經元的輸出 ajl​:第l層中第j個神經元的輸出

a j l = σ ( ∑ k w j k l a k l − 1 + b j l ) a^l_j=\sigma(\sum_k{w^l_{jk}a^{l-1}_k+b^l_j}) ajl​=σ(∑k​wjkl​akl−1​+bjl​)

z j l = ∑ k w j k l a k l − 1 + b j l z^l_j=\sum_k{w^l_{jk}a^{l-1}_k+b^l_j} zjl​=∑k​wjkl​akl−1​+bjl​

C : 模 型 最 終 的 代 價 函 數 ， 衡 量 模 型 輸 出 與 t a r g e t 之 間 的 偏 差 C:模型最終的代價函數，衡量模型輸出與target之間的偏差 C:模型最終的代價函數，衡量模型輸出與target之間的偏差

将第l層第j個神經元的輸出的預測值與實際值的誤差誤差定義為：

δ j l = ∂ C ∂ z j l \delta^l_j=\frac{\partial C}{\partial z^l_j} δjl​=∂zjl​∂C​

對于代價函數可以用以下公式進行表示：

δ L = ∇ a C ⊙ σ ′ ( z L )      ( 公 式 1 ) \delta^L=\nabla_aC\odot\sigma'(z^L) \ \ \ \ (公式1) δL=∇a​C⊙σ′(zL)    (公式1)

δ l = ( ( w l + 1 ) T δ l + 1 ) ⊙ σ ′ ( z l )      ( 公 式 2 ) \delta^l=((w^{l+1})^T\delta^{l+1})\odot\sigma'(z^l)\ \ \ \ (公式2) δl=((wl+1)Tδl+1)⊙σ′(zl)    (公式2)

∂ C ∂ b j l = δ j l      ( 公 式 3 ) \frac{\partial C}{\partial b^l_j}=\delta^l_j\ \ \ \ (公式3) ∂bjl​∂C​=δjl​    (公式3)

∂ C ∂ w j k l = a k l − 1 δ j l      ( 公 式 4 ) \frac{\partial C}{\partial w^l_{jk}}=a^{l-1}_k\delta^l_j\ \ \ \ (公式4) ∂wjkl​∂C​=akl−1​δjl​    (公式4)

其中做以下說明：

公式1其實就是損失函數C對第L層即輸出層輸出向量 a a a的偏導，這裡可以看成是标量對向量求偏導，利用标量對向量求導性質: d σ ( x ) = σ ′ ( x ) ⊙ d x d\sigma(x)=\sigma'(x)\odot dx dσ(x)=σ′(x)⊙dx可得公式1。

公式2,将公式1中的L一般化為神經網絡中的每一層。

公式3,由于目前神經元輸出對偏置項求偏導=1，是以 ∂ C ∂ b j l = δ j l \frac{\partial C}{\partial b^l_j}=\delta^l_j ∂bjl​∂C​=δjl​

公式4,由于目前神經元輸出對偏置項求偏導= a k l − 1 a^{l-1}_k akl−1​，是以 ∂ C ∂ w j k l = a k l − 1 δ j l \frac{\partial C}{\partial w^l_{jk}}=a^{l-1}_k\delta^l_j ∂wjkl​∂C​=akl−1​δjl​

4.最後為了避免紙上談兵，讓我們操練起來。just coding！

#coding:utf-8
import random
import math

#
#   參數解釋：
#   "pd_" ：偏導的字首
#   "d_" ：導數的字首
#   "w_ho" ：隐含層到輸出層的權重系數索引
#   "w_ih" ：輸入層到隐含層的權重系數的索引

class NeuralNetwork:
    LEARNING_RATE = 0.5

    def __init__(self, num_inputs, num_hidden, num_outputs, hidden_layer_weights = None, hidden_layer_bias = None, output_layer_weights = None, output_layer_bias = None):
        self.num_inputs = num_inputs

        self.hidden_layer = NeuronLayer(num_hidden, hidden_layer_bias)
        self.output_layer = NeuronLayer(num_outputs, output_layer_bias)

        self.init_weights_from_inputs_to_hidden_layer_neurons(hidden_layer_weights)
        self.init_weights_from_hidden_layer_neurons_to_output_layer_neurons(output_layer_weights)

    def init_weights_from_inputs_to_hidden_layer_neurons(self, hidden_layer_weights):
        weight_num = 0
        for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):
            for i in range(self.num_inputs):
                if not hidden_layer_weights:
                    self.hidden_layer.neurons[h].weights.append(random.random())
                else:
                    self.hidden_layer.neurons[h].weights.append(hidden_layer_weights[weight_num])
                weight_num += 1

    def init_weights_from_hidden_layer_neurons_to_output_layer_neurons(self, output_layer_weights):
        weight_num = 0
        for o in range(len(self.output_layer.neurons)):
            for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):
                if not output_layer_weights:
                    self.output_layer.neurons[o].weights.append(random.random())
                else:
                    self.output_layer.neurons[o].weights.append(output_layer_weights[weight_num])
                weight_num += 1

    def inspect(self):
        print('------')
        print('* Inputs: {}'.format(self.num_inputs))
        print('------')
        print('Hidden Layer')
        self.hidden_layer.inspect()
        print('------')
        print('* Output Layer')
        self.output_layer.inspect()
        print('------')

    def feed_forward(self, inputs):
        hidden_layer_outputs = self.hidden_layer.feed_forward(inputs)
        return self.output_layer.feed_forward(hidden_layer_outputs)

    def train(self, training_inputs, training_outputs):
        self.feed_forward(training_inputs)

        # 1. 輸出神經元的值
        pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input = [0] * len(self.output_layer.neurons)
        for o in range(len(self.output_layer.neurons)):

            # ∂E/∂zⱼ
            pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] = self.output_layer.neurons[o].calculate_pd_error_wrt_total_net_input(training_outputs[o])

        # 2. 隐含層神經元的值
        pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input = [0] * len(self.hidden_layer.neurons)
        for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):

            # dE/dyⱼ = Σ ∂E/∂zⱼ * ∂z/∂yⱼ = Σ ∂E/∂zⱼ * wᵢⱼ
            d_error_wrt_hidden_neuron_output = 0
            for o in range(len(self.output_layer.neurons)):
                d_error_wrt_hidden_neuron_output += pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] * self.output_layer.neurons[o].weights[h]

            # ∂E/∂zⱼ = dE/dyⱼ * ∂zⱼ/∂
            pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input[h] = d_error_wrt_hidden_neuron_output * self.hidden_layer.neurons[h].calculate_pd_total_net_input_wrt_input()

        # 3. 更新輸出層權重系數
        for o in range(len(self.output_layer.neurons)):
            for w_ho in range(len(self.output_layer.neurons[o].weights)):

                # ∂Eⱼ/∂wᵢⱼ = ∂E/∂zⱼ * ∂zⱼ/∂wᵢⱼ
                pd_error_wrt_weight = pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] * self.output_layer.neurons[o].calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(w_ho)

                # Δw = α * ∂Eⱼ/∂wᵢ
                self.output_layer.neurons[o].weights[w_ho] -= self.LEARNING_RATE * pd_error_wrt_weight

        # 4. 更新隐含層的權重系數
        for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):
            for w_ih in range(len(self.hidden_layer.neurons[h].weights)):

                # ∂Eⱼ/∂wᵢ = ∂E/∂zⱼ * ∂zⱼ/∂wᵢ
                pd_error_wrt_weight = pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input[h] * self.hidden_layer.neurons[h].calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(w_ih)

                # Δw = α * ∂Eⱼ/∂wᵢ
                self.hidden_layer.neurons[h].weights[w_ih] -= self.LEARNING_RATE * pd_error_wrt_weight

    def calculate_total_error(self, training_sets):
        total_error = 0
        for t in range(len(training_sets)):
            training_inputs, training_outputs = training_sets[t]
            self.feed_forward(training_inputs)
            for o in range(len(training_outputs)):
                total_error += self.output_layer.neurons[o].calculate_error(training_outputs[o])
        return total_error

class NeuronLayer:
    def __init__(self, num_neurons, bias):

        # 同一層的神經元共享一個截距項b
        self.bias = bias if bias else random.random()

        self.neurons = []
        for i in range(num_neurons):
            self.neurons.append(Neuron(self.bias))

    def inspect(self):
        print('Neurons:', len(self.neurons))
        for n in range(len(self.neurons)):
            print(' Neuron', n)
            for w in range(len(self.neurons[n].weights)):
                print('  Weight:', self.neurons[n].weights[w])
            print('  Bias:', self.bias)

    def feed_forward(self, inputs):
        outputs = []
        for neuron in self.neurons:
            outputs.append(neuron.calculate_output(inputs))
        return outputs

    def get_outputs(self):
        outputs = []
        for neuron in self.neurons:
            outputs.append(neuron.output)
        return outputs

class Neuron:
    def __init__(self, bias):
        self.bias = bias
        self.weights = []

    def calculate_output(self, inputs):
        self.inputs = inputs
        self.output = self.squash(self.calculate_total_net_input())
        return self.output

    def calculate_total_net_input(self):
        total = 0
        for i in range(len(self.inputs)):
            total += self.inputs[i] * self.weights[i]
        return total + self.bias

    # 激活函數sigmoid
    def squash(self, total_net_input):
        return 1 / (1 + math.exp(-total_net_input))


    def calculate_pd_error_wrt_total_net_input(self, target_output):
        return self.calculate_pd_error_wrt_output(target_output) * self.calculate_pd_total_net_input_wrt_input();

    # 每一個神經元的誤差是由平方差公式計算的
    def calculate_error(self, target_output):
        return 0.5 * (target_output - self.output) ** 2

    
    def calculate_pd_error_wrt_output(self, target_output):
        return -(target_output - self.output)

    
    def calculate_pd_total_net_input_wrt_input(self):
        return self.output * (1 - self.output)


    def calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(self, index):
        return self.inputs[index]


# 文中的例子:

nn = NeuralNetwork(2, 2, 2, hidden_layer_weights=[0.15, 0.2, 0.25, 0.3], hidden_layer_bias=0.35, output_layer_weights=[0.4, 0.45, 0.5, 0.55], output_layer_bias=0.6)
for i in range(10000):
    nn.train([0.05, 0.1], [0.01, 0.09])
    print(i, round(nn.calculate_total_error([[[0.05, 0.1], [0.01, 0.09]]]), 9))


#另外一個例子，可以把上面的例子注釋掉再運作一下:

# training_sets = [
#     [[0, 0], [0]],
#     [[0, 1], [1]],
#     [[1, 0], [1]],
#     [[1, 1], [0]]
# ]

# nn = NeuralNetwork(len(training_sets[0][0]), 5, len(training_sets[0][1]))
# for i in range(10000):
#     training_inputs, training_outputs = random.choice(training_sets)
#     nn.train(training_inputs, training_outputs)
#     print(i, nn.calculate_total_error(training_sets))
           

經過10000次的疊代，loss的變化如下圖所示：

參考文章：

http://galaxy.agh.edu.pl/~vlsi/AI/backp_t_en/backprop.html