欣賞下吧，欣賞而已。我也做不出來。
先來一道
已知： ΔABC 是銳角三角形，它的邊 AB>AC ; H 是它的垂心; M 是 BC 的中點; F 是 BC 邊上的垂足; ⊙γ 是 ΔABC 的外接圓;
D 是AH的中點; 以 AH 為直徑的圓跟 ⊙γ 相交于 A 、Q 兩點；
以 QH 為直徑的圓為 ⊙β , 它與 ⊙γ 交于 Q 、K兩點；
⊙α 是 ΔKFM 的外接圓。
假設 ⊙γ 上互不重疊的點從 A 開始順時針次序依次是A、 Q 、 K、 C 、 B。
求證： ⊙α 和 ⊙β 相切。
據說證明涉及到“九點圓”，我搜了下，果然，已知條件中的很多幾何要素都可以牽涉到這個冷僻概念。說冷其實也不冷，在單墫等人的奧數競賽教材中這些知識點據說是常見的。
證明似乎不難。從紅色九點圓有三個明顯的内接直角三角形，可以發現容易找到三條直徑。任意确定一個圓和直徑，證明第四點跟直徑上兩點也為直角三角形則可以；進而四點四點地證明共圓，湊合着湊合着也就夠了。
性質應該很漂亮
九點圓具有許多有趣的性質，例如：
1. 三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半；
2. 九點圓的圓心在歐拉線上，且恰為垂心與外心連線的中點；
3. 三角形的九點圓與三角形的内切圓，三個旁切圓均相切（費爾巴哈定理）；
4. 九點圓是一個垂心組（即一個三角形三個頂點和它的垂心，共四個點，每個點都是其它三點組成的三角形的垂心，共4個三角形）共有的九點圓，是以九點圓共與四個内切圓、十二個旁切圓相切。
5. 九點圓心(V)，重心(G)，垂心(H)，外心(O)四點共線，且HG=2OG，OG=2VG，OH=2OV。
九點圓圓心的重心坐标的計算跟垂心、外心一樣麻煩。
設d1，d2，d3分别是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘，并令c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
那麼重心坐标為：( (2c1+c2+c3)/4c，(2c2+c1+c3)/4c，(2c3+c1+c2)/4c )。
因為圓比較多,我覺得如果用反演來做應該能行; 可是反演隻是一個幾何變換而已，僅在極少特殊情況下能降低難度，看來得收回這句話
另起一題
ΔABC 外接圓 ⊙α 圓心為 O ；D,E是 BC 上到 A 等距的兩個點。β是以 A 為圓心過 D,E的圓。 α 和 β 兩圓交點 F,G 。 ΔBDF 的外接圓 交 AB 于 B,K 兩點； ΔECG 的外接圓 交 AC 于 C,L 兩點。 X 是 FK 和 GL 延長線交點。兩個圓 α,β 上點的次序如圖所示。
求證： A,X,O 三點共線。