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Catalan數
中文:卡特蘭數
原理：
令h(1)＝1,h(0)=1，catalan數滿足遞歸式：
h(n)= h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1) (其中n>=2)
另類遞歸式：
h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);
該遞推關系的解為：
h(n+1)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)
我并不關心其解是怎麼求出來的，我隻想知道怎麼用catalan數分析問題。
我總結了一下，最典型的四類應用：（實質上卻都一樣，無非是遞歸等式的應用，就看你能不能分解問題寫出遞歸式了）
1.括号化問題。
矩陣鍊乘： P=a1×a2×a3×……×an，依據乘法結合律，不改變其順序，隻用括号表示成對的乘積，試問有幾種括号化的方案？(h(n)種)
2.出棧次序問題。
一個棧(無窮大)的進棧序列為1,2,3,..n,有多少個不同的出棧序列?
類似：有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中隻有n個人有一張5元鈔票，另外n人隻有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得隻要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(将持5元者到達視作将5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)
3.将多邊行劃分為三角形問題。
将一個凸多邊形區域分成三角形區域的方法數?
類似：一位大城市的律師在她住是以北n個街區和以東n個街區處工作。每天她走2n個街區去上班。如果她
從不穿越（但可以碰到）從家到辦公室的對角線，那麼有多少條可能的道路？
類似：在圓上選擇2n個點,将這些點成對連接配接起來使得所得到的n條線段不相交的方法數?
4.給頂節點組成二叉樹的問題。
給定N個節點，能構成多少種不同的二叉樹？
（能構成h（N）個）
Catalan數的解法
Catalan數的組合公式為 Cn=C(2n,n) / (n+1);
此數的遞歸公式為 h(n ) = h(n-1)*(4*n-2) / (n+1)
// 0ms
#include<iostream>
using namespace std;
#define MAX 100
#define BASE 10000
void multiply(int a[],int Max,int b) //大數乘法,注意參數的傳遞
{
int i,array=0;
for (i = Max-1; i >= 0; i--)
{
array += b * a[i];
a[i] = array % BASE; // 數組每一位存放大數的四位數字
array /= BASE;
}
}
void divide(int a[], int Max, int b) //模拟大數除法
{
int i, div = 0;
for (i = 0; i < Max; i++)
{
div = div * BASE + a[i];
a[i] = div / b;
div %= b;
}
}
int main()
{
int a[101][MAX],i, n;
memset(a[1],0,MAX*sizeof(int));
for (i=2, a[1][MAX-1] = 1; i < 101; i++) // 高坐标存放大數低位
{
memcpy(a[i], a[i-1], MAX * sizeof(int)); //h[i] = h[i-1];
multiply(a[i], MAX, 4 * i - 2); //h[i] *= (4*i-2);
divide(a[i], MAX, i + 1); //h[i] /= （i+1）;
}
while (cin >> n)
{
for (i = 0; i < MAX && a[n][i] == 0; i++); //去掉數組前為0的數字。
cout << a[n][i++]; //輸出第一個非0數
for (; i < MAX; i++)
{
printf("%04d",a[n][i]); //輸出後面的數，并每位都保持4位長度!(32767)
}
cout << endl;
}
return 0;
}
AC CODE 2:
//C(0) = 1 ; (n+2)*C(n+1) = (4n+2)*C(n); 也即是：h(n) = h(n-1) * (4 * n - 2)/（n+1）;
// 0MS
#include<iostream>
using namespace std;
int a[101][101] = {0};
int main()
{
int n,i,j,len,r,temp,t;
int b[101];
a[1][0] = 1; // 低坐标存放大數的低位
len = 1;
b[1] = 1;
for (i = 2; i <= 100; i++)
{
t = i - 1;
for (j=0;j<len;j++) // 模拟乘法,從低位開始
{
a[i][j] = a[i-1][j] * (4 * t + 2);
}
for (r = j = 0; j < len; j++) // 處理相乘結果
{
temp = a[i][j] + r;
a[i][j] = temp % 10;
r = temp / 10;
}
while (r) // 進位處理
{
a[i][len++] = r % 10;
r /= 10;
}
for (j = len-1, r = 0; j >= 0; j--) // 模拟除法，從高位開始
{
temp = r * 10 + a[i][j];
a[i][j] = temp / (t+2);
r = temp % (t+2);
}
while (!a[i][len-1]) // 高位零處理
{
len--;
}
b[i] = len; // 記錄結果的長度
}
while (cin >> n)
{
for(j = b[n] - 1; j >= 0; j--)
{
printf("%d",a[n][j]);
}
printf("\n");
}
return 0;
}
《程式設計之美》中提到了“買票找零”問題，查閱了下資料，此問題和卡特蘭數 Cn有關，其定義如下：
卡特蘭數真是一個神奇的數字，很多組合問題的數量都和它有關系，例如：
- Cn= 長度為 2n的 Dyck words的數量。 Dyck words是由 n個 X和 n個 Y組成的字元串，并且從左往右數， Y的數量不超過 X，例如長度為 6的 Dyck words為：
XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY
- Cn= n對括号正确比對組成的字元串數，例如 3對括号能夠組成：
((())) ()(()) ()()() (())() (()())
- Cn= n+1個數相乘，所有的括号方案數。例如， 4個數相乘的括号方案為：
((ab)c)d (a(bc))d (ab)(cd) a((bc)d) a(b(cd))
- Cn= 擁有 n+1 個葉子節點的二叉樹的數量。例如 4個葉子節點的所有二叉樹形态：
- Cn=n*n的方格地圖中，從一個角到另外一個角，不跨越對角線的路徑數，例如， 4×4方格地圖中的路徑有：
- Cn= n+2條邊的多邊形，能被分割成三角形的方案數，例如 6邊型的分割方案有：
- Cn= 圓桌周圍有 2n個人，他們兩兩握手，但沒有交叉的方案數。
在《Enumerative Combinatorics》一書中，竟然提到了多達 66種組合問題和卡特蘭數有關。
分析
“卡特蘭數”除了可以使用公式計算，也可以采用“分級排列法”來求解。以 n對括弧的合法比對為例，對于一個序列 (()而言，有兩個左括弧，和一個右括弧，可以看成“抵消了一對括弧，還剩下一個左括弧等待抵消”，那麼說明還可以在末尾增加一個右括弧，或者一個左括弧，沒有左括弧剩餘的時候，不能添加右括弧。
由此，問題可以了解為，總共 2n個括弧，求 1～2n級的情況，第 i 級儲存所有剩餘 i 個左括号的排列方案數。 1～8級的計算過程如下表：
計算過程解釋如下： 1級:隻能放 1個“(”； 2級:可以在一級末尾增加一個“）”或者一個“ (”
以後每級計算時，如果遇到剩餘 n>0個“(”的方案，可以在末尾增加一個“ (”或者“ )”進入下一級；遇到剩餘 n=0個“(”的方案，可以在末尾增加一個“ (”進入下一級。
奇數級隻能包含剩餘奇數個“（”的排列方案
偶數級隻能包含剩餘偶數個“（”的排列方案
從表中可以看出，灰色部分可以不用計算。
解法
關鍵代碼為：
double Catalan(int n) { if (n == 0) return 1; for (int i = 2; i <= 2 * n; i++) { var m = i <= n ? i : 2 * n + 1 - i; for (int j = (i - 1) & 1; j <= m; j += 2) { if (j > 0) arr[j - 1] += arr[j]; if (j < n) arr[j + 1] += arr[j]; arr[j] = 0; } } return arr[0]; }
其中：
n為 Cn中的 n；
arr = new double[n + 1];//arr[i]代表有 k個括弧的時候，剩餘 "("個數為 i的排列方案個數 arr[1] = 1;
讨論
算法複雜度為
= O(n^2)，空間複雜度為 O(n+1)。相對于利用公式計算而言，此方法的優勢在于——沒有乘除法，隻有加法。