網絡流-最大流問題

上一篇部落格介紹了Ford-Fulkerson算法點選打開連結

之前介紹的Ford-Fulkerson算法時間複雜度為O(F*E)，在一般情況下是可以接受的，但是一旦點,邊都變的多的時候就不行了，接下來的Dinic算法也比較簡單，在Ford-Fulkerson算法基礎上改進的。

Ford-Fulkerson算法是通過dfs來尋找增廣路的，并沿着它增廣。而Dinic算法是尋找最短的增廣路的，并沿着增廣，長度在增廣途中是不會變短的（注意這裡的距離并不是邊上的權值（那是最大流量），而是簡單的邊的條數（可以看成邊長為1））。

我們首先通過bfs處理圖，把點按照與源點的距離劃分（形成分層圖）,在上面進行dfs尋找最短增廣路，，如果找不到了，那麼證明最短增長路變長了，或者不存在了。

每一步構造分層圖的複雜度為O(E),而每一步完成後最短增長路至少+1，但是不會超過|v|-1,是以最多重複|V|次

算法複雜度O(E*V*V)

HDU 3549

耗時是Ford-Fulkerson算法的一半

代碼如下:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=20;
struct ege//終點，最大流量，确定反向邊的位置
{
    int to,cap,rev;
};
vector<ege> G[maxn];
int level[maxn];
int n,m;


void bfs(int s)
{
    level[s]=0;
    queue<int>que;
    que.push(s);
    while (que.size()) {
        int cur=que.front();
        que.pop();
        for (int i=0;i<G[cur].size();i++) {
            ege& e=G[cur][i];
            if (e.cap>0&&level[e.to]==-1) {
                level[e.to]=level[cur]+1;
                que.push(e.to);
            }
        }
    }
}

int dfs(int S,int E,int f)
{
    if (S==E) return f;
    for (int i=0;i<G[S].size();i++) {
        ege& e=G[S][i];
        if (level[e.to]>level[S]&&e.cap>0) {
            int d=dfs(e.to,E,min(f,e.cap));
            if (d>0) {
                e.cap-=d;
                G[e.to][e.rev].cap+=d;//反向邊來加流量，保證可以反悔
                return d;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int max_flow(int s,int e)
{
    int flow=0;
    while (true) {
        memset(level,-1,sizeof (level));
        bfs(s);
        if (level[e]<0) return flow;//已經到不了了
        int f;
        while ((f=dfs(s,e,inf))>0) flow+=f;//一直在目前分層圖上面找
    }
    return 0;
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    for (int icase=1;icase<=t;icase++) {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for (int i=1;i<=n;i++) G[i].clear();
        for (int i=1;i<=m;i++) {
            int s,e, val;
            scanf("%d%d%d",&s,&e,&val);
            G[s].push_back(ege{e,val,G[e].size()});
            G[e].push_back(ege{s,0,G[s].size()-1});
        }
        printf("Case %d: %d\n",icase,max_flow(1,n));
    }
    return 0;
}