從RC低通濾波到卷積的了解

低通濾波器（英語：Low-pass filter）容許低頻信号通過，但減弱（或減少）頻率高于截止頻率的信号的通過。對于不同濾波器而言，每個頻率的信号的減弱程度不同。當使用在音頻應用時，它有時被稱為高頻剪切濾波器，或高音消除濾波器。

高通濾波器則相反，而帶通濾波器則是高通濾波器同低通濾波器的組合。低通濾波器概念有許多不同的形式，其中包括電子線路（如音頻裝置中使用的hiss濾波器、平滑資料的數字算法、音障（acoustic barriers）、圖像模糊處理等等)。低通濾波器在信号進行中的作用等同于其它領域如金融領域中移動平均數（moving average）所起的作用；這兩個工具都通過剔除短期波動、保留長期發展趨勢提供了信号的平滑形式。

從應用形式上可以發現的是，低通濾波器可以将低頻信号通過，而低頻信号可以視作發生頻率較低的事件，即長期趨勢下的常見事件，而高頻信号則是在短期内急速發生的事件，也就是可以通過低通濾波将短期波動剔除，實作信号平滑。

無源電子濾波器實作：

一個可以作為低通濾波器的簡單電路包括與一個負載串聯的電阻以及與負載并聯的一個電容。電容有電抗作用阻止低頻信号通過，低頻信号經過負載。在較高頻率電抗作用減弱，電容起到短路作用。這個區分頻率（也稱為轉換頻率或者截止頻率（Hz））由所選擇的電阻和電容所确定。

f_c=\frac{1}{2\pi RC}

或者（弧度每秒）：

\omega_c=1/RC

電路如下：

一個理想的低通濾波器能夠完全剔除高于截止頻率的所有頻率信号并且低于截止頻率的信号可以不受影響地通過。實際上的轉換區域也不再存在。一個理想的低通濾波器可以用數學的方法（理論上）在頻域中用信号乘以矩形函數得到，作為具有同樣效果的方法，也可以在時域與sinc函數作卷積得到。

然而，這樣一個濾波器對于實際真正的信号來說是不可實作的，這是因為sinc函數是一個延伸到無窮遠處的函數（extends to infinity），是以這樣的濾波器為了執行卷積就需要預測未來并且需要有過去所有的資料。對于預先錄制好的數字信号（在信号的後邊補零，并使得由此産生的濾波後的誤差小于量化誤差）或者無限循環周期信号來說這是可實作的。

實時應用中的實際濾波器通過将信号延時一小段時間讓它們能夠“看到”未來的一小部分來近似地實作理想濾波器，這已為相移所證明。近似精度越高所需要的延時越長。

關于sinc函數，sinc函數（英語：sinc function）是一種函數，在不同的領域它有不同的定義。數學家們用符号sinc(x)表示這種函數。 sinc函數可以被定義為歸一化的或者非歸一化的，不過兩種函數都是正弦函數和單調的遞減函數 1/x的乘積：

在數字信号處理和通信理論中，人們把歸一化sinc函數定義為

對于所有x ≠ 0，sinc(x)=(sin⁡(πx）)/πx

在數學領域中，人們以前使用的非歸一化sinc函數 （for sinus cardinalis）被定義為

對于所有x ≠ 0，sinc(x)=(sin⁡(x))/x

在這兩種情況下，當x=0時sinc函數的值被定義為以下的極限值，是以 sinc 函數是處處可解析的。

對于任何實數 a ≠ 0，sinc(0)=lim┬(x→0)⁡〖(sin⁡(ax))/ax=1〗

非歸一化sinc函數等同于歸一化sinc函數，隻是它的變量中沒有放大系數 π 。

關于卷積，從定義上來說，是透過兩個函數 f 和 g 生成第三個函數的一種數學算子，表征函數 f 與經過翻轉和平移的 g 的乘積函數所圍成的曲邊梯形的面積。如果将參加卷積的一個函數看作區間的訓示函數，卷積還可以被看作是“移動平均”的推廣。

卷積的重要的實體意義是：一個函數（如：機關響應）在另一個函數（如：輸入信号）上的權重疊加。

着重了解定義中的“卷”和“積”。從定義的公式上(f*g)(t)=∫▒f(τ)g(t-τ)dτ，“卷”指的是-τ，“積”顯然就是積分或者在離散時是求和。

至于為什麼要将其中一個函數翻轉，在于卷積從信号處理上來說，一個輸入信号到一個系統中，是先輸入的時序信号點首先處理的是響應函數的開始，而後依次輸出，那麼卷積計算後所得的結果是疊加的和，從數學計算上就是将響應函數翻轉了，至于平移則是為了對應求解域。積分就是求和疊加罷了。