曾經做過一個夢，夢裡我有一直貓，它的名字叫“傅裡葉”。我抱着它，它一直在我的懷裡周期性的扭來扭來去，突然，“噗”地吐出好幾條蛇
起初聽到“傅裡葉”的時候是大一的時候，那時，心裡想這個人是誰啊？可萬萬沒想到大學四年都要籠罩在他的陰影之下，大二考完《信号與系統》之後，我就特别高興，以為再也不用整這些破公式了！之後《數學實體方法》、《數字信号處理》...如今9102年了，卻還在和傅裡葉打交道。那麼，這個讓衆多理工科大學生感到恐懼的傅爺到底是何方聖神？
傅裡葉(1768～1830)全名是 讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅裡葉(Baron Jean Baptiste Joseph Fourier)舉世聞名的法國數學家。傅裡葉的創造性工作為偏微分方程的邊值問題提供了基本的求解方法——傅裡葉級數法。傅裡葉一生為人正直，他曾對許多年輕的數學家和科學家給予無私的支援和真摯的鼓勵，進而得到他們的忠誠愛戴，并成為他們的至交好友由于傅裡葉極度癡迷熱學，他認為熱能包治百病，于是在一個夏天，他關上了家中的門窗，穿上厚厚的衣服，坐在火爐邊，于是他被活活熱死了，熱死了 ...
傅裡葉變換
一、什麼是頻域
你眼中看似落葉紛飛變化無常的世界，實際隻是躺在上帝懷中一份早已譜好的樂章。
從我們出生，我們看到的世界都以時間貫穿，股票的走勢、人的身高、汽車的軌迹都會随着時間發生改變。這種以時間作為參照來觀察動态世界的方法我們稱其為時域分析。而我們也想當然的認為，世間萬物都在随着時間不停的改變，并且永遠不會靜止下來。但如果我告訴你，用另一種方法來觀察世界的話，你會發現世界是永恒不變的，你會不會覺得我瘋了？我沒有瘋，這個靜止的世界就叫做頻域。傅裡葉同學告訴我們，任何周期函數，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的疊加。而貫穿時域與頻域的方法之一，就是傳中說的傅裡葉分析。傅裡葉分析可分為傅裡葉級數(Fourier Serie)和傅裡葉變換(Fourier Transformation)，我們從簡單的開始談起。
二、傅裡葉級數(Fourier Series)的頻譜
還是舉個栗子并且有圖有真相才好了解。
如果我說我能用前面說的正弦曲線波疊加出一個帶 90 度角的矩形波來，你會相信嗎？你不會，就像當年的我一樣。但是看看下圖：
第一幅圖是一個郁悶的正弦波 cos(x)
第二幅圖是 2 個賣萌的正弦波的疊加 cos (x) +a.cos (3x)
第三幅圖是 4 個發春的正弦波的疊加
第四幅圖是 10 個便秘的正弦波的疊加
随着正弦波數量逐漸的增長，他們最終會疊加成一個标準的矩形，大家從中體會到了什麼道理？
(隻要努力，彎的都能掰直！)
随着疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時繼續上升的部分使其變為水準線。一個矩形就這麼疊加而成了。但是要多少個正弦波疊加起來才能形成一個标準 90 度角的矩形波呢？不幸的告訴大家，答案是無窮多個。(上帝：我能讓你們猜着我？)
不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來的。這是沒有接觸過傅裡葉分析的人在直覺上的第一個難點，但是一旦接受了這樣的設定，遊戲就開始有意思起來了。
還是上圖的正弦波累加成矩形波，我們換一個角度來看看：
在這幾幅圖中，最前面黑色的線就是所有正弦波疊加而成的總和，也就是越來越接近矩形波的那個圖形。而後面依不同顔色排列而成的正弦波就是組合為矩形波的各個分量。這些正弦波按照頻率從低到高從前向後排列開來，而每一個波的振幅都是不同的。一定有細心的讀者發現了，每兩個正弦波之間都還有一條直線，那并不是分割線，而是振幅為 0 的正弦波！也就是說，為了組成特殊的曲線，有些正弦波成分是不需要的。
這裡，不同頻率的正弦波我們成為頻率分量。
好了，關鍵的地方來了！！
如果我們把第一個頻率最低的頻率分量看作“1”，我們就有了建構頻域的最基本單元。
對于我們最常見的有理數軸，數字“1”就是有理數軸的基本單元。(好吧，數學稱法為——基。在那個年代，這個字還沒有其他奇怪的解釋，後面還有正交基這樣的詞彙我會說嗎?)
接下來，讓我們回到國中，回憶一下老師是怎麼定義正弦波的吧。
正弦波就是一個圓周運動在一條直線上的投影。是以頻域的基本單元也可以了解為一個始終在旋轉的圓
介紹完了頻域的基本組成單元，我們就可以看一看一個矩形波，在頻域裡的另一個模樣了：
這是什麼奇怪的東西？
這就是矩形波在頻域的樣子，是不是完全認不出來了？教科書一般就給到這裡然後留給了讀者無窮的遐想，以及無窮的吐槽，其實教科書隻要補一張圖就足夠了：頻域圖像，也就是俗稱的頻譜，就是——
可以發現，在頻譜中，偶數項的振幅都是0，也就對應了圖中的彩色直線。振幅為 0 的正弦波。
這期就到這裡啦，希望大二的小可愛們能夠更輕松的學習《信号與系統》、大三的老朋友們更容易了解專業課，下期将對傅裡葉級數(Fourier Series)的相位譜、傅裡葉變換(Fourier Tranformation)、宇宙耍帥第一公式：歐拉公式、指數形式的傅裡葉變換進行科普，小電祝大家學業進步，績點噌噌噌往上漲!下期不見不散哦~
此文章，對于傅裡葉變換的講解的出處說明(搬運隻是為了讓更多的小夥伴收獲知識)：
作 者：韓 昊
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