解答微軟的一道邏輯推理題

以下是微軟有名的一道邏輯推理題，網上有不少人給出了答案，但是推理過程都有些問題，在這裡我給出我的推理過程：       教授選出兩個從2到9的數，把它們的和告訴學生甲，把它們的積告訴學生乙，讓他們輪流猜這兩個數

　　甲說：“我猜不出”

　　乙說：“我猜不出”

　　甲說：“我猜到了”

　　乙說：“我也猜到了”

　　問這兩個數是多少

  [我的解答]    設甲聽到的和為M, 乙聽到的積為N，則：    M == A11 + B11 == A12 + B12 == …… == A1n + B1n( n >= 2)    N == A21 * B21 == A22 * B22 == …… == A2k * B2k (k >= 2)    且：      存在{i, j}滿足：    （ i）(A1i == A2j && B1i == B2j (j>=2 && j<=k))     （ ii） (A1i, B1i中至少有一個是合數 && 另一個數乘以前面那個合數的最小因子（>1）得到的積不超過9)  -> 否則乙不會說不知道（如果不同因數分解的個數為1，則乙知道答案；而為1的可能就是： 1）因數分解為兩個質數的組合； 2）因數分解為一個合數乘以另一個數，該數乘以前面那個合數的最小因子(>1)得到的積會超過9）   （iii）(對于任意的t, t<=n && t>= 2 && t!=i：A1t和B1t均為質數 || 一個為合數，而對于另一個數，如果乘以前面那個合數的最小因子(>1)，會超過9)  ->  否則甲不會在乙說不知道的情況下又知道了（其實就是對上面一步的結論求逆命題）   （iiii） ( 對于任意的x, x<=k && x>=2 && x!=j: A2x, B2x中有一個數乘以另一個數的最小因子(>1)超過9 || A2x與B2x的和隻能轉化成一個合數與另一個數相加的形式，其中“另一個數”乘以這個合數的最小因子(>1)得到的積不超過9) -> 否則乙不會在甲說知道的情況下又知道了(這句話也是最難映射成數學表達的一句話：乙能在這一步得出答案，說明{A2j, B2j}(即{A1i, B1i})有{A2x, B2x}所沒有的特征。而到目前為止，我們所掌握的{A2j, B2j}的特征隻有： 1）A2j, B2j中至少有一個是合數 -> A2x, B2x均為質數（這不可能） 2）A2j, B2j中任何一個數乘以另一個數的最小因子(>1)不超過9 -> A2x, B2x中有一個數乘以另一個數的最小因子(>=1)超過9 3）A2j與B2j的和可以轉化成兩個質數相加的形式 或者 可以轉化成一個為合數與另一個數相加的形式：其中“另一個數”乘以這個合數的最小因子(>1)得到的積超過9 -> A2x與B2x的和隻能轉化成一個合數與另一個數相加的形式，其中“另一個數”乘以這個合數的最小因子(>1)得到的積不超過9      為了求出符合題意的A1i和B1i, 我們要使用逼近法來縮小範圍。      從甲的角度看：    2-9這8個數字中隻有4，6，8，9這4個合數，它們與2-9中的數相加，滿足條件( ii)的隻有和：{6， 7， 8， 9， 10， 11， 12}       再從乙的角度來考察，檢驗每個和：    如果M == 6: 此時{A1i, B1i}({A2j, B2j}) == {2, 4}({3， 3}不滿足條件( ii))。此時N = 2 * 4 = 8。但是8隻能分解成{2， 4}（注意取值隻能在2-9之間），這與k >= 2沖突。    如果M == 8: 存在{2, 6}, {4, 4}，{3， 5}，不滿足條件( iii)。       如果M == 9: 此時{A1i, B1i}({A2j, B2j}) == {3, 6}}({2， 7}不滿足條件( ii))。此時N = 3 * 6 = 18 = 2 * 9。2 + 9 = 11 = 4 + 7 = 3 + 8。 9的最小因子(>1)為3， 2 * 3 < 9 -> 不滿足條件( iiii)的第一個“或”部分；4的最小因子(>1)為2，7 * 2 > 9 -> 不滿足條件( iiii)的第二個“或”部分（與“隻能”沖突）。故：不滿足條件條件( iiii)。    如果M == 10: 存在{2, 8}，{4， 6}，{5， 5}不滿足條件( iii))。    如果M == 11: 存在{2, 9}, {3, 8}, {4， 7}, {5, 6}，不滿足條件( iii))。    如果M == 12: 存在{3, 9}({6， 6}, {4, 8}，{5， 7}，不滿足條件( iii))。     最後得出：M隻能是7，對應的{A1i, B1i} == {3, 4}   [注] 這個推理可以改進的地方在于：“ 對于任意的x, x<=k && x>=2 && x!=j: A2x, B2x中有一個數乘以另一個數的最小因子(>1)超過9 || A2x與B2x的和隻能轉化成一個合數與另一個數相加的形式，其中“另一個數”乘以這個合數的最小因子(>1)得到的積不超過9”這句話的映射。應該有更好的同構的數學表達。