概念(理論)---積分方程1：賦範線性空間，線性算子，有界線性算子和連續線性算子

理論

在賦範線性空間中，線性算子是有界線性算子的充要條件是它也是一個連續線性算子。

概念

國小我們是學已有運算的各種性質，大學就是通過以前學的性質來定義運算

線性空間，就是定義了加法（滿足交換律，結合律，有零元和負元）和數乘（與實數做運算滿足配置設定率和結合律）的空間

賦範線性空間，線上性空間的基礎上如果我們定義範數（類似于絕對值，它滿足滿足0元範數為0，對數乘線性，滿足三角不等式），那麼這個空間我們成為賦範線性空間

算子，定義于 Ω ∈ X \Omega \in X Ω∈X而取值于 Y Y Y的映射

線性算子，如果一個算子 T T T，滿足

α T x 1 + β T x 2 = ( α x 1 + β x 2 ) T \alpha Tx_1+\beta Tx_2=(\alpha x_1+\beta x_2)T αTx1​+βTx2​=(αx1​+βx2​)T那麼就稱該算子為線性算子

有界線性算子，就是存在 M M M滿足對于任何的 x x x都有， ∥ T x ∥ y ≤ M ∥ x ∥ x \|Tx\|_y \leq M\|x\|_x ∥Tx∥y​≤M∥x∥x​則 T T T就是一個有界線性算子

注意到，不是說 ∥ T X ∥ \|TX\| ∥TX∥是有界的，而是說， ∥ T x ∥ y ∥ x ∥ x \frac{\|Tx\|_y}{\|x\|_x} ∥x∥x​∥Tx∥y​​是有界的

連續線性算子，簡單來說，對于任意的一個 ϵ \epsilon ϵ，總存在一個 δ \delta δ，當 x 1 x_1 x1​和 x 2 x_2 x2​的距離小于 δ \delta δ的時候， ∥ T x 1 − T x 2 ∥ &lt; ϵ \|Tx_1-Tx_2\|&lt;\epsilon ∥Tx1​−Tx2​∥<ϵ

證明

在賦範線性空間中，線性算子是有界線性算子的充要條件是它也是一個連續線性算子。

⇒ \Rightarrow ⇒

已知 T T T是一個有界算子，那麼對于 Ω \Omega Ω中的任意兩個元素 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1​,x2​，總存在 M M M（并且這個 M M M是不依賴 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1​,x2​的取值的，是一個有界常數）使得 ∥ T ( x 1 − x 2 ) ∥ y ≤ M ∥ x 1 − x 2 ∥ x \|T(x_1-x_2)\|_y\leq M\|x_1-x_2\|_x ∥T(x1​−x2​)∥y​≤M∥x1​−x2​∥x​由 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1​,x2​的任意性，他們可以任意的接近或者遙遠；那麼我們這裡給他們一個限制，就是對于任意的 δ \delta δ， ∥ x 1 − x 2 ∥ ≤ δ \|x_1-x_2\|\leq \delta ∥x1​−x2​∥≤δ，我們都有上式成立。就算我們取 δ \delta δ為 ϵ M \frac{\epsilon}{M} Mϵ​（其中 ϵ \epsilon ϵ也是任意的），上式也成立。也就是說 ∥ T ( x 1 − x 2 ) ∥ y ≤ M ∥ x 1 − x 2 ∥ x ≤ M ϵ M = ϵ \|T(x_1-x_2)\|_y\leq M\|x_1-x_2\|_x\leq M \frac{\epsilon}{M}=\epsilon ∥T(x1​−x2​)∥y​≤M∥x1​−x2​∥x​≤MMϵ​=ϵ這就是連續性的定義了。

我們利用了“任意”這個概念，通過将任意的元素捏成我們想要的樣子來構造證明。也就是利用了從任意到存在的思想。

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一種錯誤的證明方法

已知 T T T一個連續算子。即對于任意 ϵ \epsilon ϵ，我們都有一個距離參數 δ \delta δ，這個距離參數使得任意滿足 ∥ x 1 − x 2 ∥ &lt; δ \|x_1-x_2\|&lt;\delta ∥x1​−x2​∥<δ的元素，都會再滿足 ∥ T ( x 1 − x 2 ) ∥ &lt; ϵ \|T(x_1-x_2)\|&lt;\epsilon ∥T(x1​−x2​)∥<ϵ假設滿足上述條件的 T T T是無界算子的話，也就是對于任意的常數 M M M，我們總存在 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1​,x2​使得 ∥ T ( x 1 − x 2 ) ∥ &gt; M ∥ x 1 − x 2 ∥ \|T(x_1-x_2)\|&gt;M\|x_1-x_2\| ∥T(x1​−x2​)∥>M∥x1​−x2​∥由 M M M的任意性，我們取 M = ϵ δ M=\frac{\epsilon}{\delta} M=δϵ​，則有 ∥ T ( x 1 − x 2 ) ∥ &gt; M ∥ x 1 − x 2 ∥ = ϵ \|T(x_1-x_2)\|&gt;M\|x_1-x_2\|=\epsilon ∥T(x1​−x2​)∥>M∥x1​−x2​∥=ϵ、

原因

我們試圖仿照之前的證明方式，但是這是不正确的，原因在于它的思路是固定了之前的 ϵ \epsilon ϵ和相應的 δ ( ϵ ) \delta(\epsilon) δ(ϵ)（這個 δ \delta δ的取值其實是會和 ϵ \epsilon ϵ相關的），再這樣的情況下，它定義了相關的 M ( ϵ , δ ) M(\epsilon,\delta) M(ϵ,δ)，然後再使用無界算子的定義，得到 δ ( M ) \delta(M) δ(M)以及相應的 x 1 和 x 2 x_1和x_2 x1​和x2​，這種證明方法是不正确的，因為它改變了 δ \delta δ的依賴關系。這種方式隻有當 δ \delta δ是不依賴 ϵ \epsilon ϵ的取值的時候才正确（正如 ⇒ \Rightarrow ⇒時， M M M對 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1​,x2​不依賴那樣）

正确的做法

已知 T T T是連續算子，我們要證它是一個有界算子。

假設滿足上述條件的 T T T是無界算子的話，也就是對于任意的常數 n n n，我們總存在 x n x_n xn​使得 ∥ T x n ∥ &gt; n ∥ x n ∥ \|Tx_n\|&gt;n\|x_n\| ∥Txn​∥>n∥xn​∥設 Ω \Omega Ω中的元素為 { x i ∣ i = 1 , . . . , ∞ } \{x_i |i=1,...,\infty\} {xi​∣i=1,...,∞},我們再定義 Ω \Omega Ω中的另外一系列元素為 { y n = x n n ⋅ ∥ x n ∥ ∣ n = 1 , . . . , ∞ } \{y_n=\frac{x_n}{n\cdot\|x_n\|}|n=1,...,\infty \} {yn​=n⋅∥xn​∥xn​​∣n=1,...,∞}，不難看出 ∥ y n ∥ = 1 n \|y_n\|=\frac{1}{n} ∥yn​∥=n1​，也就是說，當 n n n取值越來越大時， y n y_n yn​就會越來越小，而連續性的定義可以告訴我們，如果 T T T是連續的，它對一個非常小的元素作用對應的實數也應該非常小。在這裡的話，也就是對于任意的 ϵ \epsilon ϵ，有 N N N使得當 n &gt; N n&gt;N n>N時， ∥ T y n ∥ &lt; ϵ \|Ty_n\|&lt;\epsilon ∥Tyn​∥<ϵ。

但是， ∥ T y n ∥ = ∥ T x n n ∥ x n ∥ ∥ = ∥ T x n ∥ n ∥ x n ∥ &gt; 1 \|Ty_n\|=\|T\frac{x_n}{n\|x_n\|}\|=\frac{\|Tx_n\|}{n\|x_n\|}&gt;1 ∥Tyn​∥=∥Tn∥xn​∥xn​​∥=n∥xn​∥∥Txn​∥​>1卻恒成立。是以，沖突！