圖像分析中的傅裡葉變換

1、為什麼要進行傅裡葉變換，其實體意義是什麼？

      傅立葉變換是數字信号處理領域一種很重要的算法。要知道傅立葉變換算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。傅立葉原理表明：任何連續測量的時序或信号，都可以表示為不同頻率的正弦波信号的無限疊加。而根據該原理創立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信号，以累加方式來計算該信号中不同正弦波信号的頻率、振幅和相位。

和傅立葉變換算法對應的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質上說也是一種累加處理，這樣就可以将單獨改變的正弦波信号轉換成一個信号。

      是以，可以說，傅立葉變換将原來難以處理的時域信号轉換成了易于分析的頻域信号（信号的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信号進行處理、加工。最後還可以利用傅立葉反變換将這些頻域信号轉換成時域信号。

從現代數學的眼光來看，傅裡葉變換是一種特殊的積分變換。它能将滿足一定條件的某個函數表示成正弦基函數的線性組合或者積分。在不同的研究領域，傅裡葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅裡葉變換和離散傅裡葉變換。

      在數學領域，盡管最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征。"任意"的函數通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數的線性組合的形式，而正弦函數在實體上是被充分研究而相對簡單的函數類：

      1. 傅立葉變換是線性算子,若賦予适當的範數,它還是酉算子;

      2. 傅立葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似;

      3. 正弦基函數是微分運算的本征函數,進而使得線性微分方程的求解可以轉化為常系數的代數方程的求解.線上性時不變雜的卷積運算為  簡單的乘積運算,進而提供了計算卷積的一種簡單手段;

      4. 離散形式的傅立葉的實體系統内,頻率是個不變的性質,進而系統對于複雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信号的響應來擷取;

      5. 著名的卷積定理指出:傅立葉變換可以化複變換可以利用數字計算機快速的算出(其算法稱為快速傅立葉變換算法(FFT))。

正是由于上述的良好性質,傅裡葉變換在實體學、數論、組合數學、信号處理、機率、統計、密碼學、聲學、光學等領域都有着廣泛的應用。

2、圖像傅立葉變換的實體意義

      圖像的頻率是表征圖像中灰階變化劇烈程度的名額，是灰階在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰階變化緩慢的區域，對應的頻率值很低；而對于地表屬性變換劇烈的邊緣區域在圖像中是一片灰階變化劇烈的區域，對應的頻率值較高。傅立葉變換在實際中有非常明顯的實體意義，設f是一個能量有限的模拟信号，則其傅立葉變換就表示f的譜。從純粹的數學意義上看，傅立葉變換是将一個函數轉換為一系列周期函數來處理的。從實體效果看，傅立葉變換是将圖像從空間域轉換到頻率域，其逆變換是将圖像從頻率域轉換到空間域。換句話說，傅立葉變換的實體意義是将圖像的灰階分布函數變換為圖像的頻率分布函數，傅立葉逆變換是将圖像的頻率分布函數變換為灰階分布函數

      傅立葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對在連續空間（現實空間）上的采樣得到一系列點的集合，我們習慣用一個二維矩陣表示空間上各點，則圖像可由z=f(x,y)來表示。由于空間是三維的，圖像是二維的，是以空間中物體在另一個次元上的關系就由梯度來表示，這樣我們可以通過觀察圖像得知物體在三維空間中的對應關系。為什麼要提梯度？因為實際上對圖像進行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖，當然頻譜圖上的各點與圖像上各點并不存在一一對應的關系，即使在不移頻的情況下也是沒有。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點，實際上圖像上某一點與鄰域點差異的強弱，即梯度的大小，也即該點的頻率的大小（可以這麼了解，圖像中的低頻部分指低梯度的點，高頻部分相反）。一般來講，梯度大則該點的亮度強，否則該點亮度弱。這樣通過觀察傅立葉變換後的頻譜圖，也叫功率圖，我們首先就可以看出，圖像的能量分布，如果頻譜圖中暗的點數更多，那麼實際圖像是比較柔和的（因為各點與鄰域差異都不大，梯度相對較小），反之，如果頻譜圖中亮的點數多，那麼實際圖像一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。對頻譜移頻到原點以後，可以看出圖像的頻率分布是以原點為圓心，對稱分布的。将頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出圖像頻率分布以外，還有一個好處，它可以分離出有周期性規律的幹擾信号，比如正弦幹擾，一副帶有正弦幹擾，移頻到原點的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某一點為中心，對稱分布的亮點集合，這個集合就是幹擾噪音産生的，這時可以很直覺的通過在該位置放置帶阻濾波器消除幹擾

另外我還想說明以下幾點：

1、圖像經過二維傅立葉變換後，其變換系數矩陣表明：

     若變換矩陣Fn原點設在中心，其頻譜能量集中分布在變換系數短陣的中心附近(圖中陰影區)。若所用的二維傅立葉變換矩陣Fn的原點設在左上角，那麼圖像信号能量将集中在系數矩陣的四個角上。這是由二維傅立葉變換本身性質決定的。同時也表明一股圖像能量集中低頻區域。

2 、變換之後的圖像在原點平移之前四角是低頻，最亮，平移之後中間部分是低頻，最亮，亮度大說明低頻的能量大（幅角比較大）

傅立葉變換在圖像進行中的應用

傅立葉變換在圖像進行中有非常非常的作用。因為不僅傅立葉分析涉及圖像處理的很多方面，傅立葉的改進算法，比如離散餘弦變換，gabor與小波在圖像進行中也有重要的分量。

印象中，傅立葉變換在圖像處理以下幾個話題都有重要作用：

1.圖像增強與圖像去噪

      絕大部分噪音都是圖像的高頻分量，通過低通濾波器來濾除高頻——噪聲;  邊緣也是圖像的高頻分量，可以通過添加高頻分量來增強原始圖像的邊緣；

2.圖像分割之邊緣檢測

    提取圖像高頻分量

3.圖像特征提取：

    形狀特征：傅裡葉描述子

    紋理特征：直接通過傅裡葉系數來計算紋理特征

    其他特征：将提取的特征值進行傅裡葉變換來使特征具有平移、伸縮、旋轉不變性

4.圖像壓縮

    可以直接通過傅裡葉系數來壓縮資料；常用的離散餘弦變換是傅立葉變換的實變換；

傅立葉變換

      傅裡葉變換是将時域信号分解為不同頻率的正弦信号或餘弦函數疊加之和。連續情況下要求原始信号在一個周期内滿足絕對可積條件。離散情況下，傅裡葉變換一定存在。岡薩雷斯版<圖像處理>裡面的解釋非常形象：一個恰當的比喻是将傅裡葉變換比作一個玻璃棱鏡。棱鏡是可以将光分解為不同顔色的實體儀器，每個成分的顔色由波長（或頻率）來決定。傅裡葉變換可以看作是數學上的棱鏡，将函數基于頻率分解為不同的成分。當我們考慮光時,讨論它的光譜或頻率譜。同樣,傅立葉變換使我們能通過頻率成分來分析一個函數。

      傅立葉變換有很多優良的性質。比如線性，對稱性（可以用在計算信号的傅裡葉變換裡面）;

      時移性：函數在時域中的時移，對應于其在頻率域中附加産生的相移，而幅度頻譜則保持不變；

      頻移性：函數在時域中乘以e^jwt，可以使整個頻譜搬移w。這個也叫調制定理，通訊裡面信号的頻分複用需要用到這個特性（将不同的信号調制到不同的頻段上同時傳輸）；

     卷積定理：時域卷積等于頻域乘積；時域乘積等于頻域卷積（附加一個系數）。（圖像處理裡面這個是個重點）

信号在頻率域的表現

      在頻域中，頻率越大說明原始信号變化速度越快；頻率越小說明原始信号越平緩。當頻率為0時，表示直流信号，沒有變化。是以，頻率的大小反應了信号的變化快慢。高頻分量解釋信号的突變部分，而低頻分量決定信号的整體形象。

在圖像進行中，頻域反應了圖像在空域灰階變化劇烈程度，也就是圖像灰階的變化速度，也就是圖像的梯度大小。對圖像而言，圖像的邊緣部分是突變部分，變化較快，是以反應在頻域上是高頻分量；圖像的噪聲大部分情況下是高頻部分；圖像平緩變化部分則為低頻分量。也就是說，傅立葉變換提供另外一個角度來觀察圖像，可以将圖像從灰階分布轉化到頻率分布上來觀察圖像的特征。書面一點說就是，傅裡葉變換提供了一條從空域到頻率自由轉換的途徑。對圖像處理而言，以下概念非常的重要：

    圖像高頻分量：圖像突變部分；在某些情況下指圖像邊緣資訊，某些情況下指噪聲，更多是兩者的混合；

    低頻分量：圖像變化平緩的部分，也就是圖像輪廓資訊

    高通濾波器：讓圖像使低頻分量抑制，高頻分量通過

    低通濾波器：與高通相反，讓圖像使高頻分量抑制，低頻分量通過

    帶通濾波器：使圖像在某一部分的頻率資訊通過，其他過低或過高都抑制

    還有個帶阻濾波器，是帶通的反。

    模闆運算與卷積定理

    在時域内做模闆運算，實際上就是對圖像進行卷積。模闆運算是圖像處理一個很重要的處理過程，很多圖像處理過程，比如增強/去噪（這兩個分不清楚），邊緣檢測中普遍用到。根據卷積定理，時域卷積等價與頻域乘積。是以，在時域内對圖像做模闆運算就等效于在頻域内對圖像做濾波處理。

     比如說一個均值模闆，其頻域響應為一個低通濾波器；在時域内對圖像作均值濾波就等效于在頻域内對圖像用均值模闆的頻域響應對圖像的頻域響應作一個低通濾波。

圖像去噪

       圖像去噪就是壓制圖像的噪音部分。是以，如果噪音是高頻額，從頻域的角度來看，就是需要用一個低通濾波器對圖像進行處理。通過低通濾波器可以抑制圖像的高頻分量。但是這種情況下常常會造成邊緣資訊的抑制。常見的去噪模闆有均值模闆，高斯模闆等。這兩種濾波器都是在局部區域抑制圖像的高頻分量，模糊圖像邊緣的同時也抑制了噪聲。還有一種非線性濾波-中值濾波器。中值濾波器對脈沖型噪聲有很好的去掉。因為脈沖點都是突變的點，排序以後輸出中值，那麼那些最大點和最小點就可以去掉了。中值濾波對高斯噪音效果較差。椒鹽噪聲：對于椒鹽采用中值濾波可以很好的去除。用均值也可以取得一定的效果，但是會引起邊緣的模糊。

高斯白噪聲：白噪音在整個頻域的都有分布，好像比較困難。

岡薩雷斯版圖像處理P185：算術均值濾波器和幾何均值濾波器（尤其是後者）更适合于處理高斯或者均勻的随機噪聲。諧波均值濾波器更适合于處理脈沖噪聲。

圖像增強

      有時候感覺圖像增強與圖像去噪是一對沖突的過程，圖像增強經常是需要增強圖像的邊緣，以獲得更好的顯示效果，這就需要增加圖像的高頻分量。而圖像去噪是為了消除圖像的噪音，也就是需要抑制高頻分量。有時候這兩個又是指類似的事情。比如說，消除噪音的同時圖像的顯示效果顯著的提升了，那麼，這時候就是同樣的意思了。

常見的圖像增強方法有對比度拉伸，直方圖均衡化，圖像銳化等。前面兩個是在空域進行基于像素點的變換，後面一個是在頻域處理。我了解的銳化就是直接在圖像上加上圖像高通濾波後的分量，也就是圖像的邊緣效果。對比度拉伸和直方圖均衡化都是為了提高圖像的對比度，也就是使圖像看起來差異更明顯一些，我想，經過這樣的處理以後，圖像也應該增強了圖像的高頻分量，使得圖像的細節上差異更大。同時也引入了一些噪音。

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