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條件極值與函數習題課

第十四、十五章 條件極值與隐函數習題課

一、重要内容

極值

1)、無條件極值的計算和判斷

主要步驟：

i)、計算可疑點：駐點＋偏導數不存在的點。

Ii)、判斷

A)、判斷可疑點為極值點，常用方法：

a)、定義法：計算，若存在某個，使

得在上恒成立，則為極小值點；若存在某個，使得在上恒成立，則為極大值點。

b)、利用題意和問題的實際背景判斷，此時，可疑點通常是唯一的。即若要求計算極大值或問題的實際背景要求存在極大值，則唯一的可疑點必是極大值點；即若要求計算極小值或問題的實際背景要求存在極小值，則唯一的可疑點必是極小值點。

c)、駐點處極值性質的二階導數判别法(二階微分法)。

通過的Heisen矩陣H的正定或負定性判斷點的極值性質。

B)、判斷可疑點不是極值點，常用方法有：

a)、定義法：對任意的，确定一對點，使得

則，不是極值點。

b)、二階導數法：H為不定矩陣時，不是極值點。

2)、條件極值的計算與判斷

主要步驟：

i)、構造L-函數；

ii)、計算L-函數的駐點；

iii)、判斷，常用方法為二階微分法。

3)、隐函數極值的計算

4)、極值的應用

主要有 計算函數閉區域上的最值；證明多元不等式。

2、隐函數存在定理

要求：熟練掌握極值和條件極值的計算和應用，了解隐函數存在定理。

二、典型例題

例1、讨論的極值。進一步研究沿任意直線在的極值性質。

解、先計算駐點。求解

得唯一駐點。

判斷。計算得，H=0，故二階導數法失效。(同樣，，因而不能确定對任意的(dx，dy)，都成立>0,二階微分法同樣失效。)用定義判斷。注意到

因而，對任意,取r充分小滿足，則 且，故不是極值點。

再考慮沿直線y=kx在的極值性質。轉化為無條件極值讨論。

當k=0時，沿直線y=0, 函數z轉化為一進制函數，因而為其極小值點，故對應的為函數z沿直線y=0的極小值點。

當時，沿直線y=kx，則，為駐點，進一步判斷為極小值點，因而，對應的為原函數z沿直線y=kx的極小值點。

注、事實上，在原點的任意鄰域内，通過曲線将鄰域分成曲線下面的部分、夾在兩條曲線之間的部分和曲線上面的部分，函數z在上下兩部分上取值為正，在曲線間的部分取值為負，而正取自使函數不同号的部分裡。當沿直線y=kx考慮時，由于當x充分小時，直線y=kx總在曲線的上方，因而，取不到使函數z取負值的點如，故是極值點。

注、結論表明：設為函數z的定義域内某一點，沿任一過直線，為函數z極值點，并不一定表明點就是函數z在其定義域内的極值點。

例2、計算z=f(x,y)=在由直線x+y=6及x軸、y軸所圍成的閉區域D上的極值和最值。

解、先計算D内的極值點。求解

的D内駐點。

(注、(0,y)、(4,0)也是駐點，但不在D内，而在D的邊界上。)

判斷。計算得，H=32，

故，為極大值點且對應的極大值為。

其次，計算邊界上的最值。

記D的邊界為 、、

。則，，計算得

最後，對内部極值和邊界值進行比較。比較内部極值和邊界值可知：函數z在D的内部有極大值，而在整個閉區域D上，函數的最大值為，最小值為f(4,2)=-64.

例3、設為正定矩陣，計算在上的最值。

解、在有界閉集 上連續，因而存在最大值點

和最小值點，故，最小值，又由正定性得。進一步計算如下：構造

，

得駐點方程組：

，

由于在D上必能達到最大值和最小值，故上述方程組必有解。和就是其兩個解。由(3)知：其解必為非零解，因而對(1)、(2)，必有

解得 ，

。

設為其一組解，則代入方程組且由 得

，

因而， 。即對應的一組解必滿足，是以，必有

，。

例4、計算在下的最大值。

其中

解、顯然，函數f>0，此時，f(x,y,z)與具有相同的單調性，故可以采用對數法。

記，構造L-函數

則，求解如下駐點方程組

得。

又，計算得

故，在，因而在點達到極大值。

又，沿邊界x=0,y=0,z=0，都有，故所求最大值為。

注、注意掌握上述求極值的對數法。

例5、計算在條件下的最小值。

其中。

解、構造L－函數，求解方程組

，

得唯一駐點。

由題意和駐點的唯一性，則在處達到最小值。

特别，當時，在下在處達到最小值，因而，成立不等式

。

注、利用題意和駐點的唯一性，不需進一步的判斷，可以直接給出唯一的駐點處的極值性質，這也是計算極值時應該掌握的技巧之一。

例7、證明：時成立不等式 。

證明、用極值理論證明不等式。記，，隻需證明在D上成立 ，