3884: 上帝與集合的正确用法 —— 歐拉降幂

Description

根據一些書上的記載，上帝的一次失敗的創世經曆是這樣的：

第一天， 上帝創造了一個世界的基本元素，稱做“元”。

第二天， 上帝創造了一個新的元素，稱作“α”。“α”被定義為“元”構成的集合。容易發現，一共有兩種不同的“α”。

第三天， 上帝又創造了一個新的元素，稱作“β”。“β”被定義為“α”構成的集合。容易發現，一共有四種不同的“β”。

第四天， 上帝創造了新的元素“γ”，“γ”被定義為“β”的集合。顯然，一共會有16種不同的“γ”。

如果按照這樣下去，上帝創造的第四種元素将會有65536種，第五種元素将會有2^65536種。這将會是一個天文數字。

然而，上帝并沒有預料到元素種類數的增長是如此的迅速。他想要讓世界的元素豐富起來，是以，日複一日，年複一年，他重複地創造着新的元素……

然而不久，當上帝創造出最後一種元素“θ”時，他發現這世界的元素實在是太多了，以緻于世界的容量不足，無法承受。是以在這一天，上帝毀滅了世界。

至今，上帝仍記得那次失敗的創世經曆，現在他想問問你，他最後一次創造的元素“θ”一共有多少種？

上帝覺得這個數字可能過于巨大而無法表示出來，是以你隻需要回答這個數對p取模後的值即可。

你可以認為上帝從“α”到“θ”一共創造了10^9次元素，或10^18次，或者幹脆∞次。

一句話題意：

Input

接下來T行，每行一個正整數p，代表你需要取模的值

Output

T行，每行一個正整數，為答案對p取模後的值

Sample Input

3

2

3

6

Sample Output

1

4

HINT

對于100%的資料，T<=1000,p<=10^7

Source

By PoPoQQQ

在對于一個數的幂次方大于模數的時候可以用歐拉降幂，否則快速幂都拯救不了世界，我也不知道為什麼有這個東西。

但是好用就用了呗，在莫比烏斯反演的時候也用到了這玩意。

這道題怎麼用，我們設 g(d)=xd+y, g ( d ) = x d + y , 那麼答案就是 f(d)=g(d)%d=y f ( d ) = g ( d ) % d = y

因為所給的題目是2的無窮次，是以 g=2g g = 2 g

而2的無窮次就可以用歐拉降幂 f(d)=2g(d)%φ(d)+φ(d)%d f ( d ) = 2 g ( d ) % φ ( d ) + φ ( d ) % d

而 g(d)%φ(d)==f(φ(d)) g ( d ) % φ ( d ) == f ( φ ( d ) )

那麼 f(d)=2f(φ(d))+φ(d)%d f ( d ) = 2 f ( φ ( d ) ) + φ ( d ) % d

這樣就可以用遞歸做，在模數為1的時候就傳回0了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define eps 1e-5
ll n;
ll qpow(ll a,ll b,ll mod)
{
    ll ret=a;
    ll ans=;
    while(b)
    {
        if(b&)
            ans=(ans*ret)%mod;
        ret=(ret*ret)%mod;
        b>>=;
    }
    return ans;
}
ll phi(ll x)
{
    ll res=x,a=x;
    for(ll i=;i<=sqrt(a)+eps;i++)
    {
        if(a%i==)
        {
            res=res/i*(i-);
            while(a%i==)
                a/=i;
        }
    }
    if(a>)
        res=res/a*(a-);
    return res;
}
ll f(ll x)
{
    if(x==)
        return ;
    ll p=phi(x);
    return qpow(ll,f(p)+p,x);
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld",&n);
        printf("%lld\n",f(n));
    }
}