上一篇文章我們介紹了歐拉角速度與機體角速度的關系，但是姿态除 了歐拉角形式，還有我們最喜歡的旋轉矩陣形式，讓我們來分析一下 基于旋轉矩陣模型 :
為什麼旋轉矩陣的模型是這種形式？
假設地理系(e)中有一個固定的向量 r, 且機體系(b) 相對于 e 系轉動的角速度為 web ,則固定矢量 r 在兩坐标系下投影的轉換關系(即坐标變換)，為：
兩邊同時微分，得:
(Q1:這裡是對誰微分？)
因為 r 是 e 系中的固定矢量，是以：
由于 b 系相對于 e 系的角速度為:
則在b 系上觀察r的角速度應為:
并且已知：
即：
由于上式對于任意 e 系固定矢量 r 都成立，任選三個不共面的非零矢量 r1 、r2 和 r3 ，則有：
顯然矩陣[r1b r2b r3b]可逆，是以必定有:
即：
這就是旋轉矩陣模型的微分方程，這個公式表示了機體角速度與姿态導數之間的關系。(Q2:從這個微分方程判斷，旋轉矩陣能否測量全姿态？)
其中：
簡單給出旋轉矩陣模型的遞推計算公式：
[tm-1,tm]時間段的角增量為：
記模值為：
同樣用這個微分方程可以通過疊代更新得到飛機目前的姿态，不過顯然這個公式過于複雜是以不常用。
補充：角速度與線速度的關系
在三維空間中， 圓周運動所在的平面可以任意選取， 我們可以将角速度拓展成一個矢量 ω， 其方向垂直于該平面并由右手定則 确定． 令坐标系的原點在圓周運動的軸上， 用位矢 r 表示點 P 的位置， 則圓周運動的半徑為 r⊥=rsinθ， 其中 θ 是 r 與 ω 的夾角． 是以圓周運動速度的大小為v=ωrsinθ． 根據矢量叉乘的幾何定義
是以：
Q1:兩邊都是t的函數，兩邊對t微分，四則運算求導公式。
Q2:旋轉矩陣可以測量全姿态，因為這個微分方程恒成立，R可以為任何旋轉矩陣，W也可以為任何數。
感興趣的小夥伴可以留意一下不同姿态表達形式的微分方程，下期會用到哦。