三維電磁波的安德森局域化：一個40年未解之謎的終結

什麼是安德森局域化

安德森局域化（AL）是指在無序系統中，波的擴散傳播被抑制的現象。它既可以發生在量子波（如電子波） ，也可以發生在經典波（如電磁波、聲波、水波、地震波等） 。安德森局域化是一種普适的實體現象，它與系統的次元、幾何形狀、邊界條件等無關，隻取決于無序程度和波長 。

安德森局域化最早由安德森在1958年提出，用來解釋金屬-絕緣體轉變的機制。他發現，在一維或二維的無序電子系統中，電子波會被完全局域化，即無法傳輸電流；而在三維的無序電子系統中，存在一個臨界無序強度，當無序強度低于這個臨界值時，電子波可以擴散傳播，表現為金屬行為；當無序強度高于這個臨界值時，電子波會被局域化，表現為絕緣體行為。這個臨界無序強度對應于一個能量值，稱為移動邊緣（mobility edge），它将擴散态和局域态分開。

為什麼難以實作

盡管安德森局域化已經被廣泛地研究了40多年，但是三維電磁波的安德森局域化一直沒有被實驗觀察到，甚至有人質疑它是否真的存在。造成這種困難的原因有以下幾點：

三維電磁波的安德森局域化需要非常強的無序程度 。根據Ioffe–Regel判據，當有效波數keff和散射平均自由路徑ℓs滿足keffℓs ≈\u20091時，就可以達到移動邊緣。這意味着要麼降低keff（通過引入部分有序或空間相關性） ，要麼降低ℓs（通過增加散射強度） 。然而，實際的光學材料往往具有有限的折射率差異和散射強度，難以滿足這個條件。

三維電磁波的安德森局域化需要考慮矢量性質。電磁波是一種橫波，它有兩個偏振分量，分别對應于電場和磁場。這兩個偏振分量在無序媒體中的傳播行為可能不同，導緻局域化的程度也不同。是以，要觀察到三維電磁波的安德森局域化，需要同時考慮兩個偏振分量的耦合效應。

三維電磁波的安德森局域化需要排除其他因素的幹擾 。例如，金屬材料的吸收會導緻光子壽命的減小，進而掩蓋局域化的特征 ；媒體中的非彈性散射會導緻光子能量的損失，進而改變移動邊緣的位置 ；實驗中的有限尺寸效應、邊界條件、探測方式等也會影響局域化的判斷 。

新論文如何實作

為了克服上述困難，最近發表在《自然實體》雜志上的論文采用了一種新穎的數值模拟方法，即有限差分時域（FDTD）法。FDTD法是一種直接求解麥克斯韋方程組的方法，它可以精确地模拟電磁波在任意媒體中的傳播過程，包括散射、反射、折射、幹涉等現象。FDTD法的優點是它不需要對無序系統進行任何近似或簡化，可以直接得到電場和磁場在時空中的分布。FDTD法的缺點是它需要消耗大量的計算資源和時間，因為它需要将整個計算區域劃分為非常小的網格，并且需要疊代更新每個網格上的電場和磁場。

為了提高FDTD法的效率，這篇論文使用了一種基于圖形處理器（GPU）的并行計算技術。GPU是一種專門用于處理圖像和視訊等資料密集型任務的晶片，它具有高度并行化和高速運算的能力。通過将FDTD法中的計算任務配置設定給多個GPU核心，并且利用GPU内部的高速緩存和記憶體，這篇論文實作了FDTD法在三維無序系統中的數百倍加速。

利用這種加速後的FDTD法，這篇論文模拟了兩種不同類型的三維無序系統：一種是由金屬球組成的随機堆積體，另一種是由介電球組成的随機堆積體。金屬球具有較高的折射率和吸收系數，而介電球具有較低的折射率和吸收系數。這兩種系統都具有相同的體積分數（即球占據空間的比例），并且都具有相同的重疊度（即球之間有一定的重疊） 。

通過對這兩種系統的電場和磁場進行時空分析，這篇論文發現了以下幾個重要的結果：

在金屬球堆積體中，電磁波的傳播呈現出明顯的安德森局域化特征，即電場和磁場的強度在空間上呈現出指數衰減的行為，而且局域化的區域随着無序程度的增加而縮小。這表明，金屬球堆積體滿足了安德森局域化的條件，即keffℓs ≈\u20091。

在介電球堆積體中，電磁波的傳播呈現出不同的行為，即電場和磁場的強度在空間上呈現出幂律衰減的行為，而且衰減指數随着無序程度的增加而減小12。這表明，介電球堆積體沒有滿足安德森局域化的條件，即keffℓs ≫\u20091。

在兩種系統中，電磁波的矢量性質對局域化的影響不大，即兩個偏振分量的局域化程度相當。這表明，在強散射條件下，兩個偏振分量之間的耦合效應可以忽略不計。

在兩種系統中，球之間的重疊對局域化的影響也不大，即重疊程度對電場和磁場的強度和分布沒有顯著影響。這表明，在強散射條件下，球之間的重疊可以看作是一種等效的無序源。

論文的意義

這篇論文是首次在三維随機媒體中觀察到了電磁波的安德森局域化現象，進而驗證了安德森最初提出的理論預言。這篇論文對于了解和控制三維無序系統中電磁波傳輸現象具有重要意義和價值。它可以為設計和制造具有特殊光學功能和性能的材料提供指導和靈感。例如，利用三維電磁波局域化可以實作超高靈敏度光學傳感器、超高效率光學發光器、超高密度光學存儲器等應用。