四元素（Quaternion）與旋轉

一、四元數的含義

1、數學含義及表示方法

      三維複數域，可表示為 Q = [x, y, z,w] 或 Q = w + x*i + y*j + z*k， 其中 w 是實部，[x, y, z]是虛部，[i, j, k]是虛軸機關向量

2、實體含義

        四元數常用于表示三維空間的旋轉變換，注意它表示一個變換，不是一個狀态，它描述了一個旋轉軸[α, β, γ]和角θ，對應的四元數為Q = [cos(θ/2), α*sin(θ/2), β*sin(θ/2), γ*sin(θ/2)]，一般我們使用右手坐标系，逆時針旋轉為正。

       與其它旋轉表示方法相比，例如歐拉角、矩陣，四元數并不直覺，但具有以下優點：

• 四元數不存在歐拉角中的 “gimbal lock” 問題，翻譯成中文叫“萬向節死鎖”，名字很裝B有木有，其實就是當三個軸中的兩個軸由于旋轉重合了，導緻旋轉失去了一個自由度，想具體了解的，請參考歐拉角與萬向節死鎖（帶視訊的，非常形象）
• 四元數隻有四個數，矩陣表示變換一般都是 4*4 的，存儲計算量更小（此優點可忽略

  

  ）
• 兩個四元數之間更容易插值（實際應用中，什麼時候需要插值

  

  ）

       注意：四元素在多次運算後，會存在累計誤差，需要定期歸一化處理

二、四元數的基本運算及其實體意義

     1. 虛軸的性質

          i * i = -1； i * j = k(右手定責：i 轉到j軸，大拇指指向的方向，如下圖)；j * i = -k 

     2. 模長 Length：sqrt(x * x + y * y + z * z + w * w)

     3. 歸一化 Normalize：(x, y, z, w)./Length；用四元數表示旋轉需要歸一化處理

     4. 共轭 conjugate：(-x, -y, -z, w)，對比四元數實體含義易得：共轭表示旋轉軸不變，旋轉角相反

     5.  點乘Dot（q1 .* q2）：q1.x * q2.x + q1.y * q2.y + q1.z * q2.z + q1.w * q2.w

     6. 叉乘（q1 * q2）：兩個四元數的各元素兩兩相乘，虛軸的乘法按上述第一點"虛軸的性質”處理

          叉乘的實體含義：先繞 q2 做旋轉變換，再繞 q1 做旋轉變化

     7. 向量 v 繞四元數旋轉：q * v * conjugate(q)

三、 四元數與歐拉角、旋轉矩陣之間的互相轉換

       該節内容請直接參考代碼（下載下傳），此代碼由虛拟現實（VR）公司Oculus 原創，包含上述四元數的基本運算，矩陣的基本運算，四元數、歐拉角、旋轉矩陣之間的互相轉換