機率論學習三、古典概型

本文學習資源來自《機率論基本（李賢平）》

一、 模型與計算公式

在讨論一般随機現象之前，我們先讨論一類最簡單的随機現象：

1. 在試驗中它的全部可能結果隻有有限個，譬如為

n

n

個，記為E1,E2,⋯,EnE1,E2,⋯,En，而且這些事件是兩兩互不相容的；

2. 事件

E1,E2,⋯,En

E

1

,

E

2

,

⋯

,

E

n

的發生或出現是等可能的，即它們發生的機率都一樣。

這類随機現象在機率論發展初期即被注意，許多最初的機率論結果也是對它作出的，一般把這類随機現象的數學模型稱為古典概型。

古典概型是有限樣本空間的一種特例。可以選

Ω=E1,E2,⋯,En

Ω

=

E

1

,

E

2

,

⋯

,

E

n

作為樣本空間，而且此時應有：

P(E1)=P(E2)=⋯=P(En)=1n

P

(

E

1

)

=

P

(

E

2

)

=

⋯

=

P

(

E

n

)

=

1

n

對于任何事件

A

A

，它總可以表示為樣本點之和，例如A=Ei1+Ei2+⋯+EimA=Ei1+Ei2+⋯+Eim，是以由事件機率的定義：

P(A)=P(Ei1)+P(Ei2)+⋯+P(Eim)=1n+1n+⋯+1n=mn

P

(

A

)

=

P

(

E

i

1

)

+

P

(

E

i

2

)

+

⋯

+

P

(

E

i

m

)

=

1

n

+

1

n

+

⋯

+

1

n

=

m

n

是以在古典概型中，事件

A

A

的機率是一個分數，其分母是樣本點的總數nn，而分子是事件

A

A

中所包含的樣本點個數mm，由于

Ei1,Ei2,⋯,Eim

E

i

1

,

E

i

2

,

⋯

,

E

i

m

的出現必導緻

A

A

的出現，即它們的出現對AA的出現“有利”，是以習慣上常稱

Ei1,Ei2,⋯,Eim

E

i

1

,

E

i

2

,

⋯

,

E

i

m

是

A

A

的“有利場合”，這樣：

P(A)=mn=A的有利場合的數目樣本點總數P(A)=mn=A的有利場合的數目樣本點總數

法國數學家拉普拉斯（Laplace）在1812年把上式作為機率的一般定義。現在通常稱它為機率的古典定義，因為它隻适用于古典概型場合。

古典概型有着多方面應用，産品抽樣檢查就是其中之一。

例如： 有一個口袋，内裝

a

a

隻黑球，bb隻白球，它們除顔色不同外，外形完全一樣（以後若非特别聲明，均作此假定）。這樣一來，當我們從袋子中任意找出一球時，這

a+b

a

+

b

隻球中的任意一隻被摸到的可能性都一樣。

若把黑球作為廢品、白球作為好品，則這個摸球模型就可以描述産品抽樣。假如産品分為更多等級，例如一等品、二等品，三等品，等外品等等，則可用裝有多種顔色的球的口袋的摸球模型來描述。

這種模型化的方法能使問題更清楚，更容易看出其随機性本質而不緻被個别情況下的具體屬性所蒙蔽。不僅如此，這種抽象化的模型帶有普遍性，它還可以描述許多别的具體問題，進而有着多方面應用。例如種水稻地塊的調查，某種疾病的抽查等都能用這個模型。

事件上，古典概型的大部分問題都能形象化地用摸球模型來描述。以後我們經常研究摸球模型，意義即在于此。

二、 基本的組合分析公式

1. 全部組合分析公式的推導基于下列兩條原理：

乘法原理 ： 若進行

A1

A

1

過程有

n1

n

1

種方法，進行

A2

A

2

過程有

n2

n

2

種方法，則進行

A1

A

1

過程後再接着進行

A2

A

2

過程共有

n1∗n2

n

1

∗

n

2

種方法。

加法原理 ： 若進行

A1

A

1

過程有

n1

n

1

種方法，進行

A2

A

2

過程有

n2

n

2

種方法，假定

A1

A

1

過程與

A2

A

2

過程是并行的，則進行過程

A1

A

1

或過程

A2

A

2

的方法共有

n1+n+2

n

1

+

n

+

2

種。

2. 排列：

從包含有

n

n

個元素的總體中取出rr個來進行排列，這時既要考慮到取出的元素也要顧及其取出順序。

這種排列可分為兩類：第一種是有放回的選取，這時每次選取都是在全體元素中進行，同一進制素可被重複選中；另一種是不放回選取，這時一個元素一旦被取出便立刻從總體中除去，是以每個元素至多被選中一次，在後一種情況，必有

r≤n

r

≤

n

。

（1） 在有放回選取中，從

n

n

個元素中取出rr個元素進行排列，這種排列稱為有重複的排列，其總數共有

nr

n

r

種。

（2） 在不放回選取中，從

n

n

個元素中取出rr個元素進行排列，其總數為：

Arn=n(n−1)(n−2)⋯(n−r+1)

A

n

r

=

n

(

n

−

1

)

(

n

−

2

)

⋯

(

n

−

r

+

1

)

這種排列稱為

選排列。特别當

r=n

r

=

n

時，稱為

全排列。

（3）

n

n

個元素的全排列數為

Pn=n(n−1)⋯3⋅2⋅1=n!Pn=n(n−1)⋯3⋅2⋅1=n!

3. 組合：

（1）從

n

n

個元素中取出rr個元素而不考慮其順序，稱為組合，其總數為：

Crn=(nr)=Arnr!=n(n−1)⋯(n−r+1)r!=n!r!(n−r)!

C

n

r

=

(

n

r

)

=

A

n

r

r

!

=

n

(

n

−

1

)

⋯

(

n

−

r

+

1

)

r

!

=

n

!

r

!

(

n

−

r

)

!

這裡

(nr)

(

n

r

)

是二項展開式的系數，

(a+b)n=∑nr=0(nr)arbn−r

(

a

+

b

)

n

=

∑

r

=

n

(

n

r

)

a

r

b

n

−

r

（2）若

r1+r2+⋯+rk=n

r

1

+

r

2

+

⋯

+

r

k

=

n

，把

n

n

個不同的元素分成kk個部分，第一部分

r1

r

1

個，第二部分

r2

r

2

個，……第

k

k

部分rkrk個，則不同的分法有：

n!r1!r2!⋯rk!

n

!

r

1

!

r

2

!

⋯

r

k

!

種，上式中的數稱為多項系數，因為它是

x1+x2+⋯+xk)n

x

1

+

x

2

+

⋯

+

x

k

)

n

展開式中

xr11xr22⋯xrkk

x

1

r

1

x

2

r

2

⋯

x

k

r

k

的系數，當

k=2

k

=

2

時，即為組合數。

（3） 若

n

n

個元素中有n1n1個帶足标“1”，

n2

n

2

個帶足标“2”，……

nk

n

k

個帶足标

"k"

"

k

"

，且

n1+n2+⋯+nk=n

n

1

+

n

2

+

⋯

+

n

k

=

n

，從這

n

n

個元素中取出rr個，使得帶有足标

“i"

“

i

"

的元素有

ri

r

i

個（

1≤i≤k

1

≤

i

≤

k

），而

r1+r2+⋯+rk=r

r

1

+

r

2

+

⋯

+

r

k

=

r

，這時不同取法的總數為：

(n1r1)(n2r2)⋯(nkrk)

(

n

1

r

1

)

(

n

2

r

2

)

⋯

(

n

k

r

k

)

這裡當然要求

ri≤ni

r

i

≤

n

i

（4）從

n

n

個元素中有重複地取rr個，不計順序，則不同的取法有：

(n+r−1r)

(

n

+

r

−

1

r

)

種，這個數稱為有重複組合數。

4. 常用等式

(n0)2+(n1)2+⋯+(nn)2=(2nn)

(

n

)

2

+

(

n

1

)

2

+

⋯

+

(

n

n

)

2

=

(

2

n

n

)

三、 機率直接計算的例子

[例1]

一部四冊的文集按任意次序放到書架上去，問各冊自右向左或自左向右恰成1，2，3，4的順序的機率是多少？

[解] 若以

a,b,c,d

a

,

b

,

c

,

d

分别表示自左向右排列的書的冊号，則上述文集旋轉的方式可與向量

(a,b,c,d)

(

a

,

b

,

c

,

d

)

建立一一對應，因為

a,b,c,d

a

,

b

,

c

,

d

取值于

1,2,3,4

1

,

2

,

3

,

4

，是以這種向量的總數相當于4個元素的全排列數

4!=24

4

!

=

24

，由于文集按”任意的“次序放到書架上去，是以這24種排列中出現任意一種的可能性都相同，這是古典概型機率，其有利場合有2種，即自左向右或自右向左成1,2,3,4順序，是以所求機率為

224=112

2

24

=

1

12

[例2]