這篇文章是"第三屆數學文化論文比賽"。
體驗滲透數學文化的經典法醫學
以"滴答聲定理（第一課時間）"的教學為例
作者：楊琴春
工作編号：022
滴答股票定理（第一課）是教材八年級第17章的第一課，即學生掌握了一些三角形甚至直角三角形知識後，直角三角形的三角形做進一步的研究，主要是為了驗證"直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜率的平方"， 教科書從畢達哥拉斯的發現，通過猜測、切割、拼接、計算等數學活動，探索了定理的起源。在不改變教材設計意圖的基礎上，學生通過分割、拼接、類比、歸納、數值組合、演繹推理等各種數學思維方法，體驗滴答定理的不同證明方法，展現勾答基本原理的嚴謹性，有效培養學生的創新思維和發散思維，并将與滴答定理相關的數學史教材引入 課堂上及時，使滴答定理的教學成為貫穿課堂的數學文化的新形式。
一、了解鈎子共享定理的起源和發現
老師介紹：（地磚中的秘密）2500多年前，著名的古希臘哲學家、天文學家、數學家畢達哥拉斯曾經造訪過一位朋友的家，發現朋友家的地磚布置的地面圖案反映了等腰直角三角形的某種定量關系。
問：讓我們一起回到2500年前，圖1，體驗畢達哥拉斯，地磚中隐含的直角三角形的數量是多少？
問：地磚由全相等的等腰直角三角形組成，每個等腰直角三角形與3個正方形相鄰，這3個正方形區域之間的定量關系是什麼？你是怎麼得到它的？
師生活動：在問題的指導下，同學們逐漸發現，等腰直角三角形的直角邊由2個等腰直角三角形組成，斜邊的大正方形由4個等腰直角三角形組成，這可以在兩個小正方形中看到正方形的面積之和等于大正方形的面積， 并且每個正方形的面積可以用邊長的平方來表示，是以等距直角三角形（a和b，在這種情況下，a-b的正方形之和）的平方和等于斜邊（c）的平方，即，這給出了相等腰直角三角形的定量關系。
設計意圖：通過對曆史故事的介紹，了解定理起源的文化背景，同時将面積關系轉化為數等腰直角三角形關系，讓學生了解、幾何意義，體驗"面積法"來證明幾何中的定量關系，為探索一般直角三角形三角形關系提供方向和線索;
二、探索股票滴答定理的證明
1.從區域劃分中學習，恢複歐幾裡得定律
問題：當等腰直角三角形滿足上述關系時，所有直角三角形都具有此屬性嗎？
問：對于這個猜測，我們能否從上述想法中學習，并探讨兩個小正方形的面積之和是否等于大正方形的面積？
師生活動：在師生及時的指導下，将ABC設定為直角三角形，其中C為直角頂點，每側向外為正方形ABDE，方形BCHI和ACFG，P中為CQ⊥DE，Q中為AB，連接配接CE，BG，ACE，AGB，因為AE-AB， AC-AG，CAG-CAB-CAB，即CAE-GAB-GAB，可以确認。
∵
∴
同樣地
同樣地
老師介紹：可以看出，對于一般的直角三角形，也可以通過兩個小正方形的面積之和等于大正方形的面積，得到直角三角形的三角形關系，其實這還原了歐幾裡得的"幾何原件"所包含的滴答定理的證據， 在西方文獻中，它是書面記錄滴答作響定理的最早證明。本書由一些公認的事實來定義和公理化，通過演繹推理得到更多的定理和結論;歐幾裡得（公元前330年 - 公元前275年），古希臘人，數學家。
設計意圖：雖然這種方法并不簡單，但需要老師在正确的時間進行指導和解釋，但它向學生表明，滴答定理的證明不僅通過教科書中介紹的拼圖來驗證，而且還通過使用面積劃分和幾何演繹推理來驗證。
2.借助拼接圖形體驗傳奇的畢達哥拉斯證據
老師介紹：雖然畢達哥拉斯用兩個小正方形的面積之和等于大正方形的面積，來驗證等腰三角形兩個直角邊的正方形之和等于斜邊的平方，但對于一般的直角三角形，據說是結合拼接圖形來完成證明， 現在讓我們來看看畢達哥拉斯的法醫。
問題：請将8個正方形，其中a，b作為直角邊緣，c作為具有斜邊的全直角三角形，将3個長度為a，b，c的正方形放入具有兩個邊緣長度為a加b的正方形中。
師生活動：在師生一起工作時，拼出圖3和圖4，顯然圖3和圖4的四形ABCD都是方形的。
按兩平方ABCD面積相等，得到，整理出來。
老師介紹：以上是"拼圖遊戲"來證明定理的經典例子，主要用兩個平方的面積相等來列出方程，而每個正方形都算作不同小圖形面積的總和，最後證明了滴答定理的建立。畢達哥拉斯是世界上第一個給出直角三角形三角關系的人，是以很多西方國家稱這個結論為畢達哥拉斯定理，而且沒有關于畢達哥拉斯如何證明滴答聲定理的确切曆史記錄，是以這種證明方法隻傳給了畢達哥拉斯。
設計意圖：這種方法是先拼接圖形，再用圖形面積關系來證明定理，是為後續驗證鋪平道路，通過拼圖和定理的論證，鍛煉學生的實踐能力，練習練習，鞏固一些基本的圖形面積計算方法。
3.減少謎題數量，欣賞元的證明方法
老師介紹：通過畢達哥拉斯驗證過程，同學們發現可以減少拼接圖形。
問：根據同學們的回報，隻有4個正方形，a、b為直角邊，c為斜邊的全長直角三角形，可以拼接成邊長為a加b的正方形，如何縫合？我該如何證明？
師生活動：這4到a，b為直角邊，c為斜率的全直角三角形，拼接成圖5所示，使A、E、B三點在一條直線上，B、F、C三點在一條直線上，C、G、D三點在一條直線上。
證明：∵ Rt-AHE-Rt-BEF，
∴ ∠1 = ∠3。
∵ ∠1 + ∠2 = 90º，
∴ ∠3 + ∠2 = 90º。
∴ ∠HEF = 90º。
同樣，EFG是FGH的90o。
∴ EHG 為 90o，四邊形 EFGH 是邊長為 c 且面積等于的正方形。
∵ rtδdHG ≌ rtδAEH，
∴ ∠4 = ∠1。
∵ ∠4 + ∠5 = 90º，
∴ ∠1 + ∠5 = 90º。
∴ ∠DHA =∠EHG+∠1 + ∠5= 180º。
∴ D、H、A 三分直線。
∴四邊形ABCD是方形的。
∴．
老師介紹：這種證明方法是現代數學家于元志在中國使用的方法，在中國經常被提及，西方數學史學家推測畢達哥拉斯證明方法有相似之處，但畢達哥拉斯隻是憑直覺用拼圖來介紹定理結論，元吉簡化了拼圖過程，并對證明給出了嚴格的解釋。
設計意圖：這種驗證滴答定理的方法減少了拼圖，易于拼接在一起，并利用組合形狀數量的方法給出了滴答定理的詳細推理理論，以及我國數學家給出的證明，這也增加了學生的民族自豪感。
4.轉換拼圖方式，體驗趙爽的打樣法
問：你能改變拼圖方法，隻使用4個完整的直角三角形來形成一個邊長為c的正方形嗎？
師生活動：圖6，a，b（a<b）為右邊緣，c為四個全直角三角形的斜率，拼寫成邊長為c的正方形。
證明：∵ Rt-DAH-Rt-ABE，
∴ ∠ADH= ∠BAE.
∵ ∠ADH + ∠DAH = 90º，
∴ BAE 和 DAH 是 90o，即 BAD 是 90o。
通過同一個玩具，ABC是90o。
∴四邊形ABCD是邊長為c且面積等于的正方形。
∵ EF = FG =GH =HE = b-a ，∠HEF =∠EFG=∠FGH=∠GHE= 90º。
∴四邊形EFGH是邊長為b-a且面積等于的正方形。
∵．
老師介紹：這種證據類似于中國三國數學家趙爽為"周爽"注解的證明方法，趙爽是中國曆史上傑出的數學家，他還剪拼接圖形，巧妙地利用面積關系來證明定理，圖稱"趙爽弦圖"， 2002年在北京被選為國際數學家大會的标志。中國也是發現和研究滴答定理最古老的國家之一，古代數學家稱兩個直角邊鈎（短邊）和股票（長邊），斜邊叫弦，這就是我國所稱的滴答定理的起源。
設計意圖：趙爽和闫元志正在用幾何和面積關系的拼接來證明代數之間的常數關系，既直覺又嚴謹，為學生展示數字統一性，這是形式證據的經典方法;
5.再次減少拼圖，引入總統證書法
問：在圖5的基礎上，連接配接FH，圖7，将圖拆分為兩個全尺寸直角梯形，取其中一個直角梯形，你能推導出滴答定理嗎？
師生活動：也可以這樣做，用a、b作為直角邊，c作為斜率兩個完整的直角三角形，拼成梯子如圖8所示，使A、E、B三點在一條直線上。
證明：由A、E、B三點直線，容易啊//BF，HEF。
老師：這是美國第20任總統加菲爾德結構化圖形，他不是數學家，但他給出了一個非常經典的證明，後來被稱為總統證據的滴答定理。從古代到現在，許多數學研究者或數學家對證明定理的鈎子不知疲倦，各種證據定律各不相同，據統計，有的有500多種不同的法證，有的這幾百種證據，有的很細膩，有的很簡潔，有的因為特殊身份的證明是衆所周知的。
設計意圖：總統證言簡明，校樣中使用的圖形是以往圖形的一部分，形成了新的證據法，讓學生體驗到各種法則之間的演變和繼承，有利于發現它們之間的差異和聯系，培養學生的總結能力和發散思維。
滴答定理的方法很多，教學方法精彩紛呈，本課的教學設計注重知識的産生和發展，及時穿插文化背景，選擇來自不同國家、不同時期、不同方法的5種證明思想，更自然地體驗和體驗滴答定理的重新發現和證明， 讓學生在擷取知識的同時提高數學文化素養。
引用
曲曉琴.人類智慧之光 - 滴答作響的奧倫 .國小和中學數學，國中版，2008年（7-8）。
馬夢陽.滴答聲定理的證明及其應用的推廣.西安： 西北大學， 2014.
楊勤春.中學數學教學要注重數學文化教育。福建基礎教育研究， 2010 （2）.
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