張正友相機标定論文筆記

精讀張正友論文之後把主要步驟概括為：

Print a pattern 并把它attach 到一個平面上，通常這個pattern是個棋盤圖

從不同角度對平面拍照，可以變換棋盤的位置，也可以變換棋盤的位置。

檢測Image中的特征點

求解利用三維坐标和四組圖像坐标，求解單應性矩陣，并根據矩陣分解理論求解外部參數與内部參數。

求解distort的系數

利用系數修正疊代模型，不斷修改初始求出的内部參數和外部參數。

求單應性矩陣
           

目前正在實作求解單應性矩陣。因為求特征點是後邊考慮的内容，是以簡化模型，特征點是自己選取的角點，之後深入學習了特征提取方面的知識後，回來修改這裡的程式。

張的模型是對拍攝的平面做恢複，修改上一節提出的坐标變換公式

pm=(KRT|−KRTC)(M1)

把上式寫成更緊湊的格式

pm=K[R|t]M

寫成具體的坐标形式為

p⎛⎝⎜uv1⎞⎠⎟=K[r1,r2,r3,t]⎛⎝⎜⎜⎜XYZ1⎞⎠⎟⎟⎟

對平面标定時，可以假定平面位于世界坐标系中的Z=0，進而問題簡化為

p⎛⎝⎜uv1⎞⎠⎟=K[r1,r2,t]⎛⎝⎜XY1⎞⎠⎟

記 H=K[r1,r2,t] ,上式化簡為

p⎛⎝⎜uv1⎞⎠⎟=H⎛⎝⎜XY1⎞⎠⎟

利用四個對應點可以求出H，已經通過程式設計實作求單應性矩陣(12月4日修改)。

解決相機标定問題
           

相機标定問題是為了求解相機的内外參數我們設内參數矩陣為 A ,令 B=A−TA

其中

由于B是hermitian的，是以需要求解B中上（下）對角的六個元素。利用H矩陣的定義：

把求B的六個元素化簡成等價的線性方程組

其中：

找出圖像與三維平面之間任意三個以上的對應點就可以求解出B的六個參數，如果隻有兩個對應點則需要假設内參矩陣A中的c為0。求解出H與A之後，利用以下公式可以找出外部參數中的旋轉矩陣與平移向量：

再利用以下公式可以求出内部參數：

求解出的相機參數（外部+内部）隻是初始值，仍有很大的誤差，我們需要把distort考慮進去，然後使用求最優化的方法反複疊代求解出誤差最小的參數。具體步驟如下：

考慮radial distortion為多項式模型，即與半徑r有關，令 (u,v) 為像素在理想情況（沒有誤差）下的圖像坐标，令 (u˘,v˘) 為實際的圖像坐标，同樣的 (x,y) 和 (x˘,y˘) 為标準化的坐标：利用兩個坐标的變換公式

得到distortion模型

為了估計多項式中的兩個參數

需要求解以上線性方程組，上式中的系數矩陣都是已知的，很容易得到兩個參數

注意考慮到distortion之後要直接把原來坐标經過distortion變換即

最後就是求解一個非線性最優化模型

其中 是空間中的點M投影到圖像上，同時考慮扭曲（也就是 DK[R|t]M ）使用LM算法可以求出最優解。

Zhang Z. Flexible camera calibration by viewing a plane from unknown orientations[C]// IEEE International Conference on Computer Vision. IEEE, 1999:666.