為什麼梯度方向與等高線垂直

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有些結論用起來習以為常,卻不知道背後的原理,比如為什麼梯度方向與等高線垂直,弄明白後心裡才舒暢

要解決這個問題首先得有等高線的數學表達式

等高線的法線

以三維空間為例, 設某曲面的表達式為 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y),對于任意高度且平行于xoy的平面 z = c z=c z=c來說,等高線為 { z = f ( x , y ) z = c \begin{cases}z=f(x,y)\\z=c\end{cases} {z=f(x,y)z=c​,也即 f ( x , y ) = c f(x,y)=c f(x,y)=c,等高線上任意一點處的斜率是: d y d x \frac {dy}{dx} dxdy​,通過 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)來表示等高線上的斜率有 d y d x = ∂ f ∂ x / ∂ f ∂ y \frac {dy}{dx}={\frac {\partial f}{\partial x} / {\frac {\partial f}{\partial y} }} dxdy​=∂x∂f​/∂y∂f​,該點對應的法線方向為斜率的負倒數,即 − 1 d y d x = d x d y = ∂ f ∂ y / ∂ f ∂ x = t a n θ - \frac {1}{\frac {dy}{dx}}=\frac {dx}{dy}=\frac {\partial f}{\partial y}/\frac{\partial f}{\partial x}=tan\theta −dxdy​1​=dydx​=∂y∂f​/∂x∂f​=tanθ,其中 θ \theta θ是法線和x軸的夾角.如果梯度的方向和等高線的法線方向一緻,就證明了垂直關系

梯度向量

z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)的梯度向量為 ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y ) (\frac {\partial f}{\partial x}, \frac {\partial f}{\partial y}) (∂x∂f​,∂y∂f​),設該向量和x軸的夾角大小為 γ \gamma γ,則夾角的正切為 t a n γ = ∂ f ∂ y / ∂ f ∂ x = t a n θ tan\gamma=\frac {\partial f}{\partial y}/\frac {\partial f}{\partial x}=tan\theta tanγ=∂y∂f​/∂x∂f​=tanθ

是以梯度向量的方向和等高線的法線方向是一樣的!也就是說,梯度方向和等高線垂直

參考:

知乎憶臻大神