輾轉相除法（歐幾裡得算法）和拓展的歐幾裡得算法求模乘法逆元（自用）

輾轉相除法：

輾轉相除法最大的用途就是用來求兩個數的最大公約數。

用（a,b）來表示a和b的最大公約數。有定理： 已知a,b,c為正整數，若a除以b餘c，則（a,b）=(b,c)。 （證明過程請參考其它資料）

例：求 15750 與27216的最大公約數。

解：

∵27216=15750×1+11466 ∴（15750，27216）=（15750，11466）

∵15750=11466×1+4284 ∴（15750，11466）=(11466,4284)

∵11466=4284×2+2898 ∴(11466,4284)=（4284，2898）

∵4284=2898×1+1386 ∴（4284，2898）=（2898，1386）

∵2898=1386×2+126 ∴（2898，1386）=（1386，126）

∵1386=126×11 ∴（1386，126）=126

是以（15750，27216）=216

輾轉相除法比較适合用來求兩個比較大的數的最大公約數 。後附代碼

拓展的歐幾裡得算法計算乘法逆元：

後附代碼。

int divisor(int m,int n)
{
    if (m % n == 0) {
        return n;
    }
    else {
        return divisor(n,m % n);
    }
}
           

/*
歐幾裡德算法：輾轉求餘
原理： gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
當b為0時，兩數的最大公約數即為a
getchar()會接受前一個scanf的回車符
*/
#include<stdio.h>
unsigned int Gcd(unsigned int M,unsigned int N)
{
    unsigned int Rem;
    while(N > 0)
    {
        Rem = M % N;
        M = N;
        N = Rem;
    }
    return M;
}
int main(void)
{
    int a,b;
    scanf("%d %d",&a,&b);
    printf("the greatest common factor of %d and %d is ",a,b);
    printf("%d\n",Gcd(a,b));
    return 0;
}
           

/*
    拓展的歐幾裡得算法
*/
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0){ x=1; y=0; return;}
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int tp=x;
    x=y; y=tp-a/b*y;
}