【擴充歐幾裡得】BAPC2014 I Interesting Integers (Codeforces GYM 100526)

題目連結：

　　http://codeforces.com/gym/100526

　　http://acm.hunnu.edu.cn/online/?action=problem&type=show&id=11672&courseid=0

題目大意：

　　給定任意一個N，(N<=109)求斐波那契—盧卡斯數列的前兩項A和B。(先滿足B最小再滿足A最小，A<=B)

　　斐波那契—盧卡斯數列是斐波那契數列的推廣，斐波那契數列f[0]=0,f[1]=1，斐波那契—盧卡斯數列f[0]=A,f[1]=B。

　　二者均滿足f[i]=f[i-1]+f[i-2],i>=2。

題目思路：

　　【數論】【擴充歐幾裡得】

　　首先如果數列S是斐波那契數列，則A*S，S+S也滿足f[i]=f[i-1]+f[i-2]。

　　那麼考慮A=1，B=0的斐波那契—盧卡斯數列S1，為第一個數對最終答案的影響。

　　同樣，A=0，B=1的斐波那契—盧卡斯數列S2，為第二個數對最終答案的影響。

　　容易得到這兩個數列是錯位的斐波那契數列

　　S1=1,0,1,1,2,3,5...

　　S2=0,1,1,2,3,5,8...

　　S2[i]=S1[i+1].

　　而把S1*A+S2*B如果能含有N，則A B的最小解即為所求。

　　是以隻需要求出斐波那契數列的前45項(109内)，接下來就是枚舉N是由斐波那契數列中哪兩個相鄰的數分别乘A和B得到的。

　　即A*f[i]+B*f[i-1]=N。可以對f[i],f[i-1]擴充歐幾裡得，求出對應的A和B，看看能否把X,Y調成滿足題意得(0<B<=A)如果行則為答案。

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//by coolxxx
//#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<iomanip>
#include<map>
#include<memory.h>
#include<time.h>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
//#include<stdbool.h>
#include<math.h>
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define abs(a) ((a)>0?(a):(-(a)))
#define lowbit(a) (a&(-a))
#define sqr(a) ((a)*(a))
#define swap(a,b) ((a)^=(b),(b)^=(a),(a)^=(b))
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define eps (1e-8)
#define J 10
#define mod 1000000007
#define MAX 0x7f7f7f7f
#define PI 3.14159265358979323
#define N 54
using namespace std;
typedef long long LL;
int cas,cass;
int n,m,lll,ans;
int f[N]={1,0};
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
	if(!b){x=1,y=0;return a;}
	LL d=exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
	return d;
}
int main()
{
	#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("1.txt","r",stdin);
//	freopen("2.txt","w",stdout);
	#endif
	int i,j,k;
	LL a,b,c,d,x,y,lcm,ii;
	for(i=1;i<45;i++)
		f[i+1]=f[i-1]+f[i];
	for(scanf("%d",&cas);cas;cas--)
//	for(scanf("%d",&cas),cass=1;cass<=cas;cass++)
//	while(~scanf("%s",s+1))
//	while(~scanf("%d",&n))
	{
		scanf("%d",&n);
		for(k=45;k && f[k]>n;k--);
		if(f[k]==n)
		{
			puts("1 1");
			continue;
		}
		for(i=k;i>2;i--)
		{
			a=f[i];b=f[i-1];c=n;
			lcm=a*b;
			d=exgcd(a,b,x,y);
			x=x%b+b;
			y=(1-x*a)/b;
			x*=c;y*=c;
			if(y<=0)
			{
				ii=(y-a+1)/(-a);
				y+=ii*a;
				x-=ii*b;
			}
			while((x-b)>=(y+a))x-=b,y+=a;
			if(x<=0 || y<=0 || y>x)continue;
			printf("%I64d %I64d\n",y,x);
			break;
		}
	}
	return 0;
}
/*
//

//
*/